Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 2. Wellenmechanik
Die Funktion a(k) beschreibt den jeweiligen Beitrag (die Amplitude) einer Einzelwelle
mit Wellenzahlvektor k, also mit Wellenlänge λ = 2π
|k|
. Man bezeichnet φ = k · r − ωt als
Phase einer Welle. Für Orte r gleicher Phase φ = const. gilt dann:
φ = k · r − ωt ⇔ φ + ωt = |k|e k · r ⇒ d dt (e k · r) = d dt
(︃ )︃ φ + ωt
|k|
= ω
|k| , (2.1.3)
d. h. die Phase breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit v Ph = ω
|k| e k aus. Zentrale Bedeutung
hat die Funktion ω = ω(k), die sogenannte Dispersionsrelation, die das Verhalten
eines Wellenpakets wesentlich bestimmt. Um das einzusehen, betracht wir zwei Fälle:
(a) dispersionsfreie Wellen: dω
dk = ∇ kω ist keine Funktion von k.
Daraus folgt ω = c|k| mit c = const. (Dispersionsrelation von EM-Wellen). Offenbar
gilt |v Ph | = ω
|k|
= c und somit v Ph = ce k = c k
|k|
⇒ k · v Ph = c k2
|k|
= c|k|, also:
ψ(r,t) =
=
=
s = r − v ph t
↓
=
∫︁
1
(2π) 3/2 ∫︁
1
(2π) 3/2 ∫︁
1
(2π) 3/2
∫︁
1
(2π) 3/2
a(k) exp {i (k · r − ωt)} d 3 k
a(k) exp {i (k · r − c|k|t)} d 3 k
a(k) exp {︁ ik (︁ r − v ph t )︁}︁ d 3 k
a(k) exp {ik · s} d 3 k
= ψ(s,0) = ψ(r − v ph t,0). (2.1.4)
D. h. das Wellenpaket propagiert „unverzerrt“ mit konstanter Geschwindigkeit v ph .
(b) dispersive Wellen: dω
dk = ∇ kω ist eine Funktion von k.
Die Phasengeschwindigkeit ist hier eine Funktion von k, so dass sich die einzelnen
ebenen Wellen des Pakets mit unterschiedlichem Geschwindigkeiten ausbreiten
– daraus folgt, dass das Wellenpaket „verzerrt“ wird. Falls letzteres aus Wellen
mit ähnlichen Wellenzahlvektoren zusammengesetzt ist, also alle k nahe einem k 0
liegen, erfolgt die Verzerrung langsam und es gilt:
ψ(r,t) =
k = k 0 + κ
↓
=
∫︁
1
(2π) 3/2
∫︁
1
(2π) 3/2
Unter Verwendung von d 3 k = d 3 κ,
a(k) exp {i (k · r − ωt)} d 3 k
a(k 0 + κ) exp {i ([k 0 + κ] · r − ωt)} d 3 k. (2.1.5)
|κ|
|k 0 |
≪ 1 und
ω(k) = ω(k 0 ) + ∇ k ω| k0
(k − k 0 ) + . . . ≈ ω(k 0 ) + ∇ k ω| k0 · κ (2.1.6)
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