Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

3.5. Konservative Zentralkraftsysteme
und den dimensionslosen Größen
führt auf die Differentialgleichung
ϱ ≔ r
a 0
sowie E ≔ E E 0
(3.5.21)
d 2 {︃
u l
dϱ 2 + E + 2 }︃
l(l + 1)
−
ϱ ϱ 2 u l = 0. (3.5.22)
Die Lösung dieser Gleichung erfolgt unter Ausnutzung ihres asymptotischen Verhaltens:
1. ϱ → 0:
d 2 u l
dϱ 2
− l(l+1)
ϱ 2 u l = 0
Aus u l = ϱ s ⇒ s(s − 1) = l(l + 1) ⇒ s = l + 1 und s = −l folgt somit:
u l (ϱ) = αϱ l+1 + βϱ −l
Normierbarkeit
↓
!
< ∞
l > 0
↓
⇒ β = 0 ⇒ u l (ϱ) = αϱ l+1 (3.5.23)
2. ϱ → ∞:
d 2 u l
dϱ 2
+ Eu l = 0 mit E < 0 (gebundene Zustände!)
⇒ u l (ϱ) = γ exp {︁ − √ −Eϱ }︁ + δ exp {︁ + √ −Eϱ }︁
Normierbarkeit
↓
!
< ∞ ⇒ δ = 0
⇒ u l (ϱ) = γ exp {︁ − √ −Eϱ }︁ (3.5.24)
Wegen der Asymptotik für ϱ → ∞ setzt man für die tatsächliche Lösung an:
⇒
⇒
⇒
u l (ϱ) = c l exp {︁ − √ −Eϱ }︁ v l (ϱ)
1 du l
c l dϱ = − √ −E exp {︁ − √ −Eϱ }︁ V l + exp {︁ − √ −Eϱ }︁ dv l
dϱ
1
c l
d 2 u l
dϱ 2
= −E exp {︁ − √ −Eϱ }︁ v l − √ −E exp {︁ − √ −Eϱ }︁ dv l
dϱ
− √ −E exp {︁ − √ −Eϱ }︁ dv l
dϱ + exp {︁ − √ −Eϱ }︁ d 2 v l
dϱ 2
0 = d2 v l
dϱ 2 − 2 √ −E dv {︃ }︃
l 2
dϱ + l(l + 1)
−
ϱ ϱ 2 v l
Gelöst wird dies mit einem Potenzreihenansatz (Vorfaktor wegen Asymptotik für ϱ → 0):
∞∑︁
v l (ϱ) = ϱ l+1 a m ϱ m . (3.5.25)
m=0
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