Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 7. Kinetische Gastheorie
7.2. Die Maxwell’sche (Geschwindigkeits-)Verteilung und das
ideale Gas
Die Gleichgewichtsverteilung eines Gases ist die isotrope Maxwellverteilung
(︂ )︂
m 3/2 {︂
f M (r,v) = n(r)
exp −
m }︂
2πk B T 2k B T (v − u)2 , (7.2.1)
die sich als Lösung der Boltzmann-/Vlasov-Gleichung ergibt. Mit den in Abschnitt 7.1
definierten Momenten erkennt man, dass:
U =
∑︁
kin. Teilchenenergien = m 2
(v − u) 2 f M (r,v) d 3 v d 3 r
und auch:
N = ∫︀ n(r) d 3 r
↓
= N m 2
∫︁ (︂ )︂
(v − u) 2 m 3/2 {︂
exp −
m }︂
2πk B T 2k B T (v − u)2 d 3 v = N m 2
⏟ ⏞
= 3k B T
m
3k B T
m
U = 3 2 Nk BT ( ˆ= innere Energie des idealen Gases) (7.2.2)
p = m 3
∫︁
(v − u) 2 f M (r,v) d 3 v = m 3 n(r)3k BT
m
n(r) = N V
↓
= N V k BT
⇔ pV = Nk B T ( ˆ= Zustandsgleichung des idealen Gases) (7.2.3)
Bemerkung 7.2.1: Die oben angegebene Maxwellverteilung beschreibt ein Teilchenensemble,
welches die Driftgeschwindigkeit u innehat.
f M
u
v
Abbildung 7.1: Maxwellverteilung
Im Falle u = 0 ist die Maxwellverteilung auf v = 0 zentriert.
◭
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