Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

3.5. Konservative Zentralkraftsysteme
Bohr-Niveaus E n : ∼ α 2 mc 2 „Grundstruktur“
Relativistische Korrekturen: ∼ α 4 mc 2 „Feinstruktur“
Spin-Bahn-Kopplung: ∼ α 4 mc 2 „Feinstruktur“
Quantisierung des Coulomb-Feldes: ∼ α 5 mc 2 „Lamb-Shift“
m e
Spin-Spin-Kopplung (Ww. e-p Dipolmomente): α 4 mc 2 „Hyperfeinstruktur“
m p
Tabelle 3.6: Korrekturen der Energieniveaus
als Feinstrukturkonstante bezeichnet wird. Damit gilt die in Tabelle 3.6 aufgeführten
Korrekturübersicht.
Wesentlich ist hier die Erkenntnis, dass geladenen Teilchen ein „Spin“ (Eigendrehimpuls)
S zugeordnet werden muss und damit auch ein magnetisches Moment, welches mit den
elektromagnetischen Feldern seiner Umgebung wechselwirkt. Das Elektron ist ein „Spin
1
2
“-Teilchen, so dass für seinen Gesamtdrehimpuls gilt:
J = S + L. (3.5.35)
Für die ersten beiden Korrekturen (Relativistisch, Spin-Bahn-Kopplung) lautet der Hamilton-Operator
näherungsweise
Ĥ = mc 2
⏟ ⏞
Ruheenergie
des Elektrons
+
ˆp 2
2m − ˆp4
8m 3 c
⏟ ⏞
2
kinetische Energie
des Elektrons mit
relativistischer Korrektur
+ V(r) − ħ2
8m 2 c 2 ∆V(r)
⏟ ⏞
potentielle Energie
des Elektrons mit
relativistischer Korrektur
+ λ ˆL · Ŝ
⏟ ⏞
Spin-Bahnkopplung
(3.5.36)
mit V(r) = − e2
4πɛ 0 r und λ = 1 dV
2me 2 c 2 r dr .
In diesem Falle ist weder L noch S eine Erhaltungsgröße (da [Ĥ, ˆL] 0 und [Ĥ, Ŝ] 0),
sondern J (da [Ĥ, Ĵ] = 0). In Abb. 3.13 sind die Wasserstoff-Energieniveaus mit der
Feinstruktur schematisch dargestellt (mit der Quantenzahl j = l + s).
Wasserstoff-Energieniveaus mit Feinstruktur
Die Wasserstoff-Energieniveaus sind mit der Feinstruktur in m j entartet:
13,6 eV
E nj = −
⎡⎢
n 2 ⎣ 1 +
⎛⎜ α2
n 2 ⎝
n
j + 1 2
⎞⎤
− 3 4
⎟⎠ ⎥⎦ (3.5.37)
Insgesamt können die in Tabelle 3.7 aufgeführten Quantenzahlen unterschieden werden.
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