Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

8.7. Die thermodynamischen Potentiale
Die gesamte geleistete Arbeit ist
W = W 12 + W 23 + W 34 + W 41
(︂ )︂ V2
= −Nk B T 12 ln − 1
(︂ )︂
(︀ )︀ V4
p3 V 3 − p 2 V 2 − NkB T 34 ln − 1 (︀ )︀
p1 V 1 − p 4 V 4
V 1 1 − κ
V 3 1 − κ
(*)
↓
= −Nk B
{︂T 12 ln
(︂ V2
V 1
)︂
wobei in der letzten Zeile die Beziehungen
(︂ )︂}︂ (**)
↓ V4
+ T 34 ln = −Nk B (T 12 − T 34 ) ln
V 3
(︂ V2
)︂
< 0
V 1
p 1 V 1 = p 2 V 2
p 3 V 3 = p 4 V 4
(*)
sowie
ausgenutzt wurden und T 12 > T 34 ist.
p 1 V 1 = p 2 V 2
p 3 V 3 = p 4 V 4
+
p 2 V κ 2 = p 3V κ 3
p 4 V κ 4 = p 1V κ 1
⇒ V 2
V 1
= V 3
V 4
(**)
Es gilt weiter:
|W| = Q 12 + Q 34 = Q 12 − |Q 34 |
und somit folgt für den (thermischen) Wirkungsgrad 13
η Carnot = |W|
Q 12
= Q 12 − |Q 34 |
Q 12
= 1 − |Q 34|
Q 12
< 1, (8.6.1)
d. h. es wird nicht die gesamte zugeführte Wärmemenge Q 12 in Arbeit umgewandelt. Mit
den obigen Ausdrücken für Q 12 und Q 34 folgt die Carnot’sche Proportion
Q 12
T 12
= |Q 34|
T 34
also η Carnot = 1 − T 34
T 12
. (8.6.2)
Demnach kann η Carnot = 1, also die vollständige Umwandlung von Wärme in Arbeit, nur
für T 34 → 0 oder T 12 → ∞ geltn. Dies ist beides praktisch nicht möglich.
Bemerkung 8.6.1: Eine direkte Folgerung aus dem 2. Hauptsatz ist, dass alle reversibel
arbeitenden Wärmekraftmaschinen den Wirkungsgrad η = η Carnot haben und η Carnot der
maximal mögliche Wirkungsgrad ist.
◭
Bemerkung 8.6.2: Durch Zerlegung in viele (infinitesimale) Carnot-Prozesse folgt mit
der Carnot’schen-Proportion, dass für jeden reversiblen Kreisprozess ∮︀
= 0 gilt. Das
führte Clausius zur Definition der Entropie S mit dS = ¯dQ T .
¯dQ
T
◭
8.7. Die thermodynamischen Potentiale
8.7.1. Konstante Teilchenzahl ( dN = 0)
Mit dieser, d. h. dN = 0, im bisherigen Verlauf der Vorlesung (implizit) gemachten
Annahme gilt gemäß des 2. Hauptsatzes
dU = T dS − p dV, (8.7.1)
13 Der Wirkungsgrad ist allgemein definiert als das Verhältnis von Nutzleistung zur zugeführten Leistung.
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