Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 3. Lösung der Schrödinger-Gleichung für spezielle physikalische Systeme
Bemerkung 3.2.4: Klassisch ist der Bereich V(x) > E verboten, quantenmechanisch wirkt
er wie ein absorbierendes Medium, siehe die Schrödingergleichung
d 2 ψ
dx 2 + 2m [E − V(x)] ψ = 0. (3.2.17)
ħ2 Für den klassisch erlaubten Bereich V(x) ≤ E ergeben sich „Schwingungslösungen“. ◭
Bemerkung 3.2.5: Es gilt für den Grundzustand ψ 0 :
⟨x⟩ = ⟨︀ p ⟩︀ ⟨
= 0 ;
⟩ x
2
= 1 ħ
;
2 mω 0
⟨ ⟩ p
2
= 1 ħ
2 mω 0
⇒ ∆x∆p =
√︁ ⟨︀x
2 ⟩︀ − ⟨x⟩ 2 √︁ ⟨︀p
2 ⟩︀ − ⟨︀ p ⟩︀2 =
√︁ ⟨︀x
2 ⟩︀ ⟨︀ p 2⟩︀ = ħ 2
Damit folgt auch für den Erwartungswert der Grundzustandsenergie
⟨ ⟩
p
2
⟨E 0 ⟩ =
2m + 1 ⟨ 2 mω2 x 2⟩ = 1 2 ħω 0 > 0. (3.2.18)
Diese „Nullpunktsenergie“ des harmonischen Oszillators besitzt also aufgrund der
Heisenberg’schen Unschärferelation den kleinstmöglichen Wert (> 0!). Dies ist ein typisch
quantenmechanischer Effekt (und verschwindet für den klassischen Grenzfall ħ → 0). ◭
Bemerkung 3.2.6: Für die klassische Wahrscheinlichkeitsdichte erwartet man
ϱ kl. ∼ 1 v = 1 ẋ
. Mit x(t) = c sin(ωt) folgt
√︂
⎧ √︂ ⎫−1
dx
dt = cω cos(ωt) = cω 1 − x2
⎪⎨
c 2 ⇒ ϱ kl. (x) ∼ ⎪⎩ cω 1 − x2 ⎪⎬⎪⎭
c 2 . (3.2.19)
Die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsdichte oszilliert örtlich (!) um ϱ kl. .
◭
3.3. Allgemeines zu Potentialen, gebundenen und
Streuzuständen
V(x)
Betrachtet sei das Kastenpotential
⎧
⎪⎨ −V 0 für |x| ≤ a
V(x) =
(3.3.1)
⎪⎩ 0 für |x| > a
und die drei Intervalle I 1 , I 2 und I 3 .
−a
a
V 0
x
I 1 I 2 I 3
Abbildung 3.3: Kastenpotential
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