Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 2. Wellenmechanik
Das Korrespondenzprinzip
Jeder Observablen A(r,p), also jeder (reellen) Funktion der Orts- und Impulskoordinaten
wird in der Quantenmechanik ein (möglicherweise komplexwertiger) Operator
Â(ˆr,ˆp) = A(r, ħ ∇) (2.6.10)
i
zugeordnet. Für den Erwartungswert einer solchen „dynamischen Variablen“ gilt
∫︁
⟨A⟩ = ψ * Â(r, ħ i ∇)ψ d3 r, (2.6.11)
wobei ψ(r,t) (als Lösung der Schrödinger-Gleichung) den physikalischen Zustand eines
Systems beschreibt. Die Eigenwerte a n des Operators Â, die die Gleichung
Âψ n = a n ψ n mit a n ∈ R (2.6.12)
erfüllen, sind die möglichen Messwerte der Observablen. Im Allgemeinen lässt sich die
Eigenwertgleichung nur für bestimmte Eigenwerte a n und zugehörige Eigenfunktionen
ψ n lösen.
2.7. Die Eigenschaften der quantenmechanischen Operatoren
Wenn die Eigenwerte a eines Operators  die möglichen Messwerte repräsentieren
sollen, müssen diese Eigenwerte reell sein. Das ist gewährleistet, wenn der Operator Â
hermitesch ist, d. h. wenn gilt:
∫︁
⟨A⟩ =
∫︁
∫︁
ψ * Âψ d 3 r = (Âψ) * ψ d 3 r =
ψÂψ * d 3 r = ⟨A⟩ * . (2.7.1)
Dann ist also auch insbesondere der Erwartungswert eines hermiteschen Operators reell.
Zudem sind alle quantenmechanischen Operatoren linear, d. h. es gilt:
Â(c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) = c 1 Â(ψ 1 ) + c 2 Â(ψ 2 ) mit c 1 ,c 2 ∈ C. (2.7.2)
Schließlich sind Operatoren im Allgemeinen nicht vertauschbar:
Beispiel 2.7.1 [Nichtvertauschbarkeit von Operatoren]:
Sei ˆr = ( ˆx 1 , ˆx 2 , ˆx 3 ) = (x 1 , x 2 , x 3 ) und ˆp = ħ i ∇ = (︁ )︁ ħ ∂ ∂ ∂
(︀ )︀
i ∂x 1
,
∂x 2
,
∂x 3
≕ ˆp1 , ˆp 2 , ˆp 3 . Dann folgt
ħ ∂ψ
ˆx i ˆp i ψ − ˆp i ˆx i ψ = x i − ħ ∂
(x i ψ) = ħ [︃
]︃
∂ψ ∂ψ
x i − ψ − x i = − ħ i ∂x i i ∂x i i ∂x i ∂x i i ψ
und
Insgesamt also
ħ ∂ψ
ˆx i ˆp j ψ − ˆp j ˆx i ψ = x i − ħ ∂
(x i ψ) = ħ [︃
]︃
∂ψ ∂ψ
x i − x i = 0.
i ∂x j i ∂x j i ∂x j ∂x j
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