Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 2. Wellenmechanik
Die Eigenfunktionen (oder Eigenzustände) ⃒ ⟩︀ ⃒ψn der in der Quantenmechanik auftretenden
Operatoren bilden ein diskretes oder kontinuierliches vollständiges Orthonormalsystem,
d. h. eine beliebige Zustandsfunktion ψ lässt sich mit den Koeffizienten/Funktionen C n
als Summe oder Integral schreiben:
∫︁∑︁ ⃒ ⃒⃒ψn ⟩︀
ψ = C n . (2.8.4)
Definiert man die Streuung einer Observablen als:
(∆A) 2 := ⟨ (A − ⟨A⟩) 2⟩ (︁ mit z. B. ⟨A⟩ = ⟨ ψ ⃒ ⃒ ⃒Â ⟩)︁
⃒ ψ
läßt sich folgendes Theorem beweisen:
(2.8.5)
Allgemeines Unschärfetheorem
|∆A||∆B| ≥ 1 ⃒
⃒ ⃒⃒[Â,
⃒⟨
ψ ˆB] ⃒ ⟩⃒ ⃒⃒⃒ ⃒ ψ . (2.8.6)
2
Demnach gilt: Die Nichtvertauschbarkeit von Operatoren ist äquivalent zur Unmöglichkeit,
die entsprechenden Observablen gleichzeitig beliebig genau messen zu können.
2.9. Die Heisenberg’sche Unschärferelation
Da in der klassischen Mechanik keine der dynamischen Variablen r und p bevorzugt
ist, sollte auch die Quantenmechanik in Bezug auf Ort und Impuls in gewisser Weise
symmetrisch sein. D. h. insbesondere, dass statt
∫︁
⟨︀ ⟩︀ p = p ⃒ ⃒
∫︁
⃒ψ(r,t)
⃒⃒ 2
d 3 ⟨︀ ⟩︀
r auch p = p ⃒ ⃒ ˜ψ(p,t) ⃒ 2
⃒ d 3 p (2.9.1)
gelten sollte, was dann symmetrisch zu ⟨r⟩ = ∫︀ r ⃒ ⃒ ⃒ψ(r,t)
⃒ ⃒⃒ 2
d 3 r wäre. Mit der Verwendung
von ˜ψ(p,t) arbeitet man im „Impulsraum“. Es stellen sich die Fragen:
(a) Wie kann ˜ψ(p,t) definiert werden?
(b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen ˜ψ(p,t) und ψ(r,t)?
Da ˜ψ(p,t) über p = ħk mit a(k) in Zusammenhang stehen muss, betrachtet man:
∫︁
1
ψ(r,t) =
(2π) 3/2 a(k) exp {i (k · r − ωt)} d 3 k
a(k)=ħ 3/2 ã(p)
p=ħk
↓
=
=
∫︁
1
(2πħ) 3/2
∫︁
1
(2πħ) 3/2
{︂ (︂ p · r
)︂}︂
ã(p) exp i
ħ
− ωt d 3 p
{︂ }︂ i
exp
ħ p · r ã(p) exp {−iωt} d 3 p. (2.9.2)
⏟ ⏞
≕ ˜ψ(p,t)
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