Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

3.5. Konservative Zentralkraftsysteme
3.5.1. Der Drehimpulsoperator
Wieder von der klassischen Definition des Drehimpulses
L = r × p (3.5.5)
ausgehend, setzt man an:
Somit gilt offenbar:
ˆL = ˆr × ˆp = r × ħ i ∇ = ħ i r × ∇ = ħ i
⎛
⎜⎝
x 2
∂
∂x 3
− x 3
∂
∂x 2
x 3
∂
∂x 1
− x 1
∂
∂x 3
x 1
∂
∂x 2
− x 2
∂
∂x 1
⎞⎟ ⎠
(3.5.6)
Allgemeiner also:
[ˆL 1 ,ˆL 2 ] = iħˆL 3 ; [ˆL 1 ,ˆL 3 ] = −iħˆL 2 ; [ˆL 2 ,ˆL 2 ] = 0 ; usw. (3.5.7)
Kommutator des Drehimpulsoperators
Für den Kommutator des Drehimpulsoperators gilt die Beziehung:
[ˆL i ,ˆL j ] = iħɛ ijkˆL k (3.5.8)
mit dem Levi-Civita-Symbol
⎧
1 ; bei einer zyklischen Vertauschung von i, j, k (i j k),
⎪⎨
ɛ ijk := −1 ; bei einer antizyklischen Vertauschung von i, j, k (i j k),
⎪⎩ 0 ; wenn mindestens zwei Indizes identisch sind.
Bemerkung 3.5.2: Wegen des nicht-verschwindenden Kommutators von je zwei Komponenten
des Drehimpulses, kann man nicht alle Komponenten des Drehimpulses
gleichzeitig scharf messen!
◭
Während die einzelnen ˆL-Komponenten also nicht vertauschen, gilt
[ ˆL 2 ,ˆL i ] = 0, (3.5.9)
d. h. der Betrag des Drehimpulses und eine Komponente können gleichzeitig scharf
gemessen werden. Man wählt üblicherweise ˆL i = ˆL 3 .
Eigenwerte von ˆL 3 und ˆL 2
Die Eigenwerte von ˆL 3 und ˆL 2 ergeben sich zu:
ˆL 2 ⃒ ⃒ ⃒ψ
⟩︀ = ħ 2 l(l + 1) ⃒ ⃒ ⃒ψ
⟩︀
ˆL 3
⃒ ⃒⃒ψ ⟩︀ = mħ
⃒ ⃒⃒ψ ⟩︀
(3.5.10a)
(3.5.10b)
mit l = 0, 1 2 ,1,3 2 ,2,5 ,3, . . . und m = −l, − l + 1, . . . ,l − 1,l (also (2l + 1)-Werte).
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