Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

8.2. Temperatur und Entropie
Fahrenheit 1 (1714) Celsius 2 (1742) Kelvin 3 (1851)
Schmelzpunkt von Eis 32 0 273,15
Siedepunkt von Wasser 212 100 373,15
Tabelle 8.1: Temperaturskalen
ist die Wärmemenge Q eine Zustandsgröße, d. h. ¯dQ ist kein vollständiges Differential,
was leicht am Beispiel des idealen Gases deutlich wird: Für die innere Energie U und die
Zustandsgleichung eines idealen Gases gilt (siehe Abschnitt 8.5.1)
abgeschl. System
N=const.
↓
U = 3 2 Nk BT und pV = Nk B T ⇒ dU = 3 2 Nk B dT. (8.2.1)
Mit dem 1. Hauptsatz (Energiesatz, siehe Abschnitt 8.4) gilt dann
dU = ¯dQ + ¯dW = ¯dQ − p dV ⇒ ¯dQ = Nk B
{︂ 3
2 dT + T V dV }︂
. (8.2.2)
Daher gilt
∂ ∂Q
∂V ∂T =
∂ (︂
∂V
Nk B
3
2
)︂
= 0 und
∂ ∂Q
∂T ∂V = ∂ (︂ )︂
T
Nk B
∂T V
= Nk B
V
0, (8.2.3)
also
∂ 2 Q
∂V ∂T
∂2 Q
∂T ∂V . (8.2.4)
Demnach ist ¯dQ kein vollständiges Differential. Jedoch läßt sich mit Hilfe eines „integrierenden
Faktors“ aus ¯dQ ein vollständiges Differential erzeugen:
dS ≡ ¯dQ T
= Nk B
{︂ 3
2
dT
T + dV }︂
V
⇒
∂2 S
∂V ∂T =
∂2 S
∂T ∂V . (8.2.5)
Die zu dS gehörende Zustandsgröße S ist die Entropie (vgl. Abschnitt 7.3) und ergibt sich
durch Integration wie bereits in Gleichung (7.3.16) und (7.3.18) zu
S = Nk B
{︂ 3
2 ln(T) + ln(V) }︂
+ const. (8.2.6)
Am schon verwendeten Beispiel eines idealen Gases kann man einen wichtigen, für die
Quantenmechanik nützlichen [siehe Gleichung (1.1.10)], Zusammenhang ablesen:
dU = 3 2 Nk B dT
dS = 3 Nk B
2 T
dT + Nk ↓
B
V
dV = 1 T dU + Nk B
V
dV = ! ∂S ∂S
dU + dV. (8.2.7)
∂U ∂V
1 Daniel Gabriel Fahrenheit, 1686-1736, dt. Physiker und Erfinder
2 Anders Celsius, 1701-1744, schwed. Astronom, Mathematiker und Physiker
3 William Thomson, 1. Baron Kelvin (meist als Lord Kelvin bezeichnet), 1824-1907, irischer Physiker
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