Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

2.9. Die Heisenberg’sche Unschärferelation
Damit folgt für die
Wellenfunktion im Ortsraum
ψ(r,t) =
∫︁
1
(2πħ) 3/2
{︂ }︂ i
˜ψ(p,t) exp
ħ p · r d 3 p. (2.9.3)
Offenbar (siehe Mathematikvorlesung) ist ψ(r,t) die Fouriertransformierte von ˜ψ(p,t), so
dass umgekehrt gilt
Wellenfunktion im Impulsraum
˜ψ(p,t) =
∫︁
1
(2πħ) 3/2
ψ(r,t) exp
{︂− i }︂
ħ p · r d 3 r (2.9.4)
Bemerkung 2.9.1: Die Normierung ist so gewählt, dass mit
∫︁
∫︁
ψ * ψ d 3 r =
∫︁
˜ψ * ˜ψ d 3 p =
∫︁
a * a d 3 k =
ã * ã d 3 p = 1 (2.9.5)
die Parseval’sche 25 Vollständigkeitsrelation gilt.
◭
Statt einen physikalischen Zustand mit ψ(r,t) im Ortsraum zu beschreiben, kann man
auch ˜ψ(p,t) im Impulsraum verwenden. Dann ist
˜ϱ(p,t) = ˜ψ * (p,t) ˜ψ(p,t) = ⃒ ⃒ ⃒ ˜ψ(p,t) ⃒ ⃒ ⃒
2
(2.9.6)
als Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum zu interpretieren (vgl. Abschnitt 2.5) und
⃒ ˜ψ(p,t) ⃒ ⃒ ⃒
2
d 3 p (2.9.7)
25 Marc-Antoine Parseval, 1755-1836, franz. Mathematiker
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