Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 3. Lösung der Schrödinger-Gleichung für spezielle physikalische Systeme
Aus der Separation in Imaginär- und Realteil folgt:
(I) 2 dA dΦ
dx dx + A (︁ )︁
d2 Φ
d
= 0 ⇔
dx 2 dx A
2 dΦ
dx
= 0
⇒ A 2 dΦ
dx = const. = ˜c2 ⇒ A(x) = ± √︁ ˜c
dΦ(x)
dx
(II) − A (︁ )︁
dΦ 2
= − p2
d 2 A
dx 2
dx
)︁ 2
(III) ⇔ (︁ dΦ
dx
ħ 2 A
= p2
dΦ
⇔
ħ 2 dx
= ± p ħ
⇒ Φ(x) = ± 1 ħ
∫︀
p(x) dx
Der Schritt (III) ist die WKB-Approximation, bei der angenommen wird, dass A langsam
variiert und d2 A
dadurch vernachlässigbar ist.
dx 2
Damit lautet die
WKB-Näherung der Wellenfunktion
ψ(x) ≈ ±
√︀ c
{︃
exp ± i ∫︁
p(x) ħ
p(x) dx
}︃
mit p(x) = ± √︀ 2m(E − V(x)). (3.4.5)
Die Bedeutung der WKB-Methode liegt darüberhinaus in dem Umstand, dass sich die
Energieniveaus gebundener Zustände näherungsweise aus
∫︁ x2
x 1
p(x) dx =
∫︁ x2
x 1
√︀
2m(E − V(x) dx =
(︂n + 1 2
)︂
πħ (3.4.6)
mit x 1 , x 2 als Lösungen von E − V(x) = 0 berechnen lassen. Diese Quantisierungsbedingung
entspricht im Wesentlichen der Bohr’schen Quantisierungsbedingung (vgl. Abschnitt
1.2.1). Die Durchtunnelungswahrscheinlichkeit von Potentialwällen kann mit
{︃
}︃
T ≃ exp
− 2 ħ
∫︁ x2
x 1
|p| dx
abgeschätzt werden, was man wie in der folgenden Betrachtung sieht.
Im Inneren von (zu durchtunnelnden) Potentialwällen gilt
(3.4.7)
E < V ⇒ p imaginär
WKB
↓
⇒
ψ(x) ≃
{︃
C
√︀ exp ∓ 1 ∫︁
|p(x)| ħ
|p(x)| dx
}︃
. (3.4.8)
Mit den Bezeichnungen und Intervallen aus Abbildung 3.6 gilt:
(I) ψ(x) = A exp {ikx} + B exp {−ikx} (3.4.9a)
{︃
C
(II) ψ(x) ≃ √︀ exp − 1 ∫︁ x2
}︃
|p(x)| dx
(3.4.9b)
|p(x)| ħ
(III) ψ(x) = D exp {ikx} . (3.4.9c)
x 1
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