Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

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Kapitel 9. Statistische Mechanik folgt ⎧⎪ ¯ϱ(q,p) = 1 ∑︁ ⎨ ⎫⎪ ⎬ Z exp − β ⎪ j x j,i ; i ↔ (q,p). (9.2.16b) ⎩ ⎪ ⎭ Analog (in Korrespondenz) gilt für die j quantenmechanische allgemeine Gesamtheit ⎧ ⎫ ∑︁ ⎪⎨ ∑︁ Z = exp ⎪⎩ − ⟨ ⃒ ⃒⃒ ⃒ ⃒⃒ ⟩ ⎪⎬ β j s ˆxj s ⎪⎭ s j ∑︁ ⎧⎪ ˆϱ = |s⟩ p(s) ⟨s| ; p(s) = 1 ∑︁ ⎨ Z exp − ⎪ ⎩ s j ⎫ ⟨ ⃒ ⃒⃒ ⃒ ⃒⃒ ⟩ ⎪⎬ β j s ˆxj s ⎪⎭ (9.2.17a) (9.2.17b) Falls – wie meist möglich – die |s⟩ Eigenzustände zu den ˆx j sind, d. h. falls ˆx j |s⟩ = x j (s) |s⟩ ist, dann gilt die vereinfachte Form: ⎫ ⎫ ⎧⎪ p(s) = 1 ⎨ ∑︁ Z exp − β ⎪ j x j (s) ⟨ s ⃒ ⟩ ⎪⎬ ⎧⎪ ⃒s ⎩ j ⎪⎭ = 1 ⎨ ∑︁ Z exp ⎪⎬ − β ⎪ j x j (s) (9.2.18a) ⎩ j ⎪⎭ ⎧ ⎫ ∑︁ ˆϱ = p(s) |s⟩ ⟨s| = 1 ∑︁ ⎪⎨ ∑︁ exp Z ⎪⎩ − ⎪⎬ β j x j (s) |s⟩ ⟨s| ⎪⎭ s s ⎧⎪ = 1 ∑︁ ⎨ ⎫⎪ ∑︁ ⎬ ⎧⎪ Z exp − β ⎪ j ˆx j |s⟩ ⟨s| = 1 ∑︁ ⎨ ⎫⎪ ⎬ ⎩ ⎪ j ⎭ Z exp − β ⎪ j ˆx j s ⎩ ⎪ j ⎭ ⏟ ⏞ =1 j (9.2.18b) Speziell für die großkanonische Gesamtheit, welche gern in der Quantenstatistik benutzt wird (s. u.), gilt somit: p(s) = 1 Z G exp {︀ −β 1 E(s) − β 2 N(s) }︀ ˆϱ G = 1 exp {︁ −β 1 Ĥ − β 2 ˆN }︁ Z ∑︁ G Z G = exp {︀ −β 1 E(s) − β 2 N(s) }︀ s (9.2.19a) (9.2.19b) (9.2.19c) 9.3. (Ideale) Quantengase Bemerkung 9.3.1: Wie auch im klassischen Fall besteht ein „ideales“ Quantengas aus nicht-wechselwirkenden Teilchen. ◭ – 118 –
9.3. (Ideale) Quantengase Im Zusammenhang mit der Entropie für ein ideales Gas wurden bereits quantenmechanische Überlegungen berücksichtigt, nämlich (vgl. Abschnitt 7.3.3): 1. Die Einteilung („Diskretisierung“) des Phasenraums in Zellen der Größe h 3N infolge der Heisenberg’schen Unschärferelation (siehe Abschnitt 2.9) und der diskreten Natur der (Quanten-)Zustände. 2. Die Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen per Division mit dem Faktor N!. Wie in Abschnitt 7.3.3 bereits bemerkt, ist die dort berechnete (halb-)klassische Entropie formal noch immer nicht korrekt, da sie nicht lim T→0 S(t) = 0 (3. Hauptsatz!) erfüllt. Letztlich liegt dieser „Defekt“ darin begründet, dass die Einführung des (Gibbs’schen Korrektur-)Faktors 1 N! zu vereinfachend ist: Ob eine Vertauschung identischer Teilchen zu einem anderen (Mikro-)Zustand führt oder nicht, hängt insbesondere auch von den „Besetzungszahlen“ n ν quantenmechanischer Zustände ν ab. Die damit zu betrachtende Quantenstatistik kann im Rahmen dieser Vorlesung nicht umfassend behandelt werden. Um aber zumindest einen qualitativen Eindruck zu gewinnen, seien zunächst die Zustandssumme und Besetzungszahlen betrachtet. 9.3.1. Die Zustandssumme und Besetzungszahlen Grundidee ist die Darstellung von Zustandsenergie E(s) und Teilchenzahl N(s) über ∑︁ ∑︁ E(s) = n ν ɛ(ν) und N(s) = n ν , (9.3.1) ν wobei n ν die Besetzungszahl des QM-Zustandes ν und ɛ(ν) die zugehörige Energie ist. Dann schreibt sich die kanonische Zustandssumme Z K = ∑︀ i exp {︀ }︀ −βE i wie folgt: ⎧ ⎫ ∑︁ ∑︁ ⎪⎨ ∑︁ Z K = . . . exp ⎪⎩ −β ⎪⎬ n ν ɛ(ν) ⎪⎭ . (9.3.2) n 1 n 2 Wegen der Mikro-Nebenbedingung N = ∑︀ ν n ν sind die n ν nicht unabhängig voneinander, was zur Folge hat, dass Z K nicht als Produkt von Summen ∏︀ ∑︀ ν n ν . . . geschrieben werden kann. Dies erschwert die mathematische Behandlung und man geht zur großkanonischen Verteilung Z G über, für die N = ⟨N i ⟩ = ⟨︀∑︀ ⟩︀ ν n ν nicht fest vorgegeben ist: ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ⎪⎨ ⎪⎬⎪⎭ ∑︁ ∑︁ ∑︁ Z G = . . . exp ⎪⎩ −β ⎪⎨ 1 n ν ɛ(ν) − β 2 n ν = . . . exp ⎪⎩ − [︀ ]︀ ⎪⎬ n ν β1 ɛ(ν) + β 2 ⎪⎭ n 1 β 2 = −β 1 µ ↓ = n 2 ⎧ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ⎪⎨ . . . exp ⎪⎩ −β 1 n 1 frei wählbar, da n ν unabh. voneinander ↓ = n 2 ν ν ⎫ [︀ ]︀ ∑︁ ⎪⎬ n ν ɛ(ν) − µ ⎪⎭ = ν n 1 ν n 1 n 2 ν ∑︁ ∏︁ . . . exp {︀ [︀ ]︀}︀ −n ν β 1 ɛ(ν) − µ n 2 ν ∏︁ ∑︁ exp {︀ [︀ ]︀}︀ ∏︁ ∑︁ (︀ {︀ [︀ ]︀}︀)︀ −n ν β 1 ɛ(ν) − µ = exp −β1 ɛ(ν) − µ nν ν n ν ν n ν ν – 119 –
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Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
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Vorwort Dieses Skript basiert auf d
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Inhaltsverzeichnis 3.5.2. Das Wasse
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Teil I. Quantenmechanik - 1 -
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Kapitel 1. Warum Quantentheorie? W
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Kapitel 1. Warum Quantentheorie? Au
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Kapitel 1. Warum Quantentheorie? Du
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Kapitel 1. Warum Quantentheorie? 1.
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Kapitel 2. Wellenmechanik Die Funkt
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Kapitel 2. Wellenmechanik Bereits h
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Kapitel 2. Wellenmechanik 2.6. Erwa
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Kapitel 2. Wellenmechanik Die Eigen
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Kapitel 2. Wellenmechanik ist die W
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Kapitel 3. Lösung der Schrödinger
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3.2. Der eindimensionale harmonisch
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3.2. Der eindimensionale harmonisch
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3.3. Allgemeines zu Potentialen, ge
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3.4. Der Tunneleffekt 3.4. Der Tunn
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Seite 93 und 94: 7.1. Verteilungsfunktionen und Mome
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Seite 145: Tabellenverzeichnis Tabellenverzeic
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