Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 7. Kinetische Gastheorie
Frage:
Wie lautet die Verteilungsfunktion eines idealen Gases?
Problem: Für welches f ist H minimal?
Lösung:
Wir suchen ein Extremum von H unter den zusätzlichen Bedingungen, dass
die Teilchenzahl
N = f d 3 r d 3 v, (7.3.9)
die innere Energie
U = 3 2 pV = 3
m
2 3
v 2 f d 3 r d 3 v = m 2
v 2 f d 3 r d 3 v (7.3.10)
und das Volumen V konstant sind:
∂H
∂t = 0,
∂N
∂t = 0,
∂U
∂t
= 0 und
∂V
∂t
= 0. (7.3.11)
Es handelt sich also um die Bestimmung von Extrema einer Funktion mit
Nebenbedingungen, was über die Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren 10
durchgeführt werden kann:
∂H
∂t + λ ∂N
1
∂t + λ ∂U
2
∂t
!
= 0. (7.3.12)
Die Nebenbedingung ∂V
∂t
= 0 ist durch die Integration über ein festes Volumen
erfüllt. Damit folgt:
α=1+λ 1
β= m 2 λ 2
↓
⇒
∂ f
∂t bel.
∂ f (︀ )︀ ∂ f
ln( f ) + 1 d 3 r d 3 v + λ 1
∂t
∂t d3 r d 3 m
v + λ 2
2
∂ f
∂t
[︁
ln( f ) + α + βv
2 ]︁ d 3 r d 3 v ! = 0
↓
⇒ ln( f ) + α + βv 2 ! = 0
v 2 ∂ f
∂t d3 r d 3 v ! = 0
⇒ f = exp {︁ −α − βv 2}︁ = const. · exp {︁ −βv 2}︁ (7.3.13)
Das ist die schon bekannte Maxwellverteilung:
f M (r,v) = N V
Vorsicht!
↓ (︂
= n(r)
(︂ )︂
m 3/2
}︃
exp
{︃− mv2
2πk B T 2k B T
m
2πk B T
10 Joseph Louise Lagrange, 1736-1813, ital. Mathematiker und Astronom
)︂ 3/2
}︃
exp
{︃− mv2 . (7.3.14)
2k B T
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