Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 9. Statistische Mechanik
Bemerkung 9.2.2: Diesem Postulat liegt die Boltzmann’sche (1887) Ergodenhypothese
zugrunde: „Die Ergode eines abgeschlossenen Systems mit E = const. verläuft durch jeden
Punkt des Phasen(unter)raums, der mit H(q,p) = E definiert ist.“ Diese wurde später durch
Ehrenfest (1911) als Quasi-Ergodenhypothese abgeschwächt formuliert: „Die Ergode eines
abgeschlossenen Systems mit E = const. kommt (fast) jedem Punkt des Phasen(unter)raums mit
H(q,p) = E beliebig nahe.“
◭
Zusammen mit den Ergebnissen aus Abschnitt 9.1 gilt also allgemein
⎧⎪
p i = ¯ϱ(q,p) = 1 ⎨
∑︁
⎫⎪ ⎬
Z exp − β
⎪ j x j,i . (9.2.7)
⎩ ⎪ ⎭
Daraus folgt mit Z = exp {︁ − ∑︀ j β j x j,i
}︁
dq dp folgende Definition:
j
(mittlere) Phasenraumdichte einer allgemeinen Gesamtheit
⎧⎪
¯ϱ(q,p) = 1 ⎨
∑︁
⎫⎪ ⎬
Z exp − β
⎪ j x j,i . (9.2.8)
⎩ ⎪ ⎭
j
Speziell für die oft benutzte kanonische Gesamtheit (s. o.) mit
p i = 1 {︂
exp − E }︂
i
Z K k B T
∑︁ {︂
Z K = exp − E }︂
i
k B T
gilt demnach
Also:
⇒
i
¯ϱ K dq dp = 1 {︃
Z exp − H(q,p) }︃
dq dp
k B T
{︃
Z = exp − H(q,p) }︃
dq dp.
k B T
(9.2.9a)
(9.2.9b)
(9.2.9c)
(9.2.9d)
(Mittl.) Phasenraumdichte der kanonischen Gesamtheit
¯ϱ K (q,p) = 1 {︃
Z exp − H(q,p) }︃
k B T
(9.2.10)
Bemerkung 9.2.3: Es gelten also die Zuordnungen:
p i ↔ ¯ϱ K
i ↔ (q,p)
E i ↔ H(q,p)
Z K ↔ Z
◭
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