Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

3.2. Der eindimensionale harmonische Oszillator
und die Eigenfunktionen
{︃ }︃
Y n (z) = NH n (z) exp − z2
. (3.2.13)
2
Die entsprechenden Wellenfunktionen ψ n (x,t) = NH n (z) exp {︁ }︁ {︁
− z2
2 exp −
i
ħ E nt }︁ sollen normiert
sein:
∫︁ ∞
|ψ n | 2 dz ! 1
= 1 ⇒ N = (︁
−∞
2 n n! √ π )︁ . (3.2.14)
1
2
Demnach gilt:
Wellenfunktion ψ n des eindimensionalen harmonischen Oszillators
ψ n (z,t) =
{︃ }︃ {︂
1
(︁
2n n! √ π )︁ H 1/2
n(z) exp − z2
exp − i }︂
2 ħ E nt . (3.2.15)
V HO
E = 1 2 hω 0
E
V(x)
ψ 3
E = 7 2 hω 0
∣
∣ψ 3
∣ ∣∣ 2
E = 7 2 hω 0
ψ 2
E = 5 2 hω 0
∣
∣ψ 2
∣ ∣∣ 2
E = 5 2 hω 0
ψ 1
E = 3 2 hω 0
∣
∣ψ 1
∣ ∣∣ 2
V HO
E = 1 2 hω 0
E = 3 2 hω 0
ψ 0
∣
∣ψ 0
∣ ∣∣ 2
0 x
Wellenfunktionen
0 x
Wahrscheinlichkeitsdichten
Abbildung 3.2: Veranschaulichung der Lösungen ψ n
Bemerkung 3.2.2: Gemäß Abschnitt 2.8 wird die Schrödingergleichung (3.2.3) dann
durch die Linearkombination
∑︁
ψ(x,t) = c n ψ n (x,t) (3.2.16)
n
gelöst. In dieser Überlagerung sieht man dann, dass sich aus den ψ n , die die Frequenz
ω n = E n
ħ
= (︁ n + 2)︁ 1 ω enthalten, für die Erwartungswerte Lösungen mit der Frequenz ω
ergeben.
◭
Bemerkung 3.2.3: Die Zahl der Nullstellen ist gleich dem Grad des zugehörigen Hermite’schen
Polynoms.
◭
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