Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 9. Statistische Mechanik
Also ergibt sich tatsächlich S(T) → 0 für T → 0 (vgl. Abschnitt 7.3.3 und die Einleitung
zu Abschnitt 9.3).
Bemerkung 9.3.2: Es gibt Systeme (vgl. Schwabl, Anhang A), für die
S(T = 0) = const. > 0 ist. In diesem Fall spricht man von Restentropie.
◭
Bemerkung 9.3.3: Die zunehmende Besetzung des energetisch tiefsten Zustandes eines
Bosonen-Systems unterhalb einer Grenztemperatur nennt man Bose-Einstein-Kondensation
1 .
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9.3.4. Quantenstatistische Anwendung: das Photonengas
Zum Abschluss der Statistischen Mechanik sei eine konkrete Anwendung demonstriert,
nämlich die Behandlung von Photonen als (bosonisches) Quantengas, was uns wieder
an den Ausgangspunkt der gesamten Vorlesung zurückbringen wird.
Photonen haben einen ganzzahligen Spin 1. Sind also Bosonen und die (in Abschnitt 9.3.2
bestimmte) großkanonische Zustandssumme lautet
∏︁ (︀ {︀ [︀ ]︀}︀)︀
Z G = 1 − exp −β1 ɛ(ν) − µ −1
. (9.3.11)
ν
Um daraus Zustandsgrößen zu berechnen, ist es sinnvoll, zunächst ln Z G zu berechnen
(vgl. Abschnitt 9.1.2):
∑︁
ln Z G = − ln (︀ 1 − exp {︀ [︀ ]︀}︀)︀
−β 1 ɛ(ν) − µ . (9.3.12)
ν
Beim Übergang von der Summation auf Integration mit
∑︁
(. . .) g
h 3 . . . d 3 r d 3 p und ɛ(ν) = ɛ(p), (9.3.13)
ν
wobei g die Spinentartung der Energieniveaus beschreibt, folgt
ln Z G = − g h 3
ln (︀ 1 − exp {︀ −β 1
[︀ ɛ(ν) − µ
]︀}︀)︀ d 3 r d 3 p. (9.3.14)
Bei Integration über ein festes Volumen V und Verwendung von Kugelkoordinaten für
die Impuls-Integration ( d 3 p = 4πp 2 dp) sowie g = 2 erhält man
ln Z G = − 8πV
h 3
∫︁ ∞
0
ln (︀ 1 − exp {︀ −β 1
[︀ ɛ(ν) − µ
]︀}︀)︀ p 2 dp. (9.3.15)
Daraus erhält man nun z. B. die innere Energie des Photonengases (mit β 1 = 1
k B T
, vgl. Abschnitt
9.1.2):
U = − ∂
∂β 1
ln Z G
⃒ ⃒⃒⃒⃒β,µ=const.
= 8πV
h 3
∫︁ ∞
p 2
0
1 Satyendranath Bose, 1894-1974, indischer Physiker
∂ ln (︀ 1 − exp {︀ [︀ ]︀}︀)︀
−β 1 ɛ(p) − µ dp (9.3.16)
∂β 1
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