Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

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Kapitel 2. Wellenmechanik Dispersionsrelation für Materiewellen ω = ħ 2m k2 . (2.2.2) Offenbar wird v gr ≥ c für |k| ≥ mc ħ , daher muss eine für alle |k| gültige Dispersionsrelation unter Berücksichtigung relativistischer Effekte hergeleitet werden: (︃ )︃ (︃ )︃ 2 mv p = γmv = √︁ = ħk ⇒ v 2 = 1 − v2 ħ c 1 − 2 m k v2 c 2 (︃ ⇒ v 2 1 + ħ2 k 2 )︃ m 2 c 2 = ħ2 m 2 k2 und damit (siehe auch Abbildung 2.2) relativistische Dispersionsrelation ⇒ v = √︁ ħ m k 1 + (︁ ħk mc ⇒ ω = m ħ c2 √︃1 + ! )︁ = dω 2 dk (︃ )︃ 2 ħk mc √︂ (︂mc )︂ 2 ω = c + k 2 ⇒ ω2 ħ c 2 (︂ )︂ mc 2 = + k 2 . (2.2.3) ħ ω |v gr | |v ph | mc 2 ħ c c |k| Materiewelle |k| EM-Welle |k| Abbildung 2.2: Dispersionsrelation für Materiewellen 2.3. Die Klein-Gordon- und die Schrödingergleichung Die Grundgleichungen für Materiewellen, die wir gemäß der obigen Frage (b) formulieren möchten (siehe Kapitel 2), können nicht streng hergeleitet werden, vielmehr beruhen sie auf Analogien zwischen klassischen und quantenmechanischen Größen. Dazu stellen wir zunächst fest, dass für elektromagnetische Wellen (EM-Wellen) gilt: – 20 –
2.3. Die Klein-Gordon- und die Schrödingergleichung Dispersionsrelation: ω = c|k| {︃ 1 ∂ 2 }︃ Wellengleichung: c 2 ∂t 2 − ∆ ψ(r,t) = □ψ(r,t) = 0 ⏟ ⏞ =□ (□ ist der d’Alembert-Operator 1 ) Diese beiden Gleichungen sind konsistent, denn für ein Wellenpaket ∫︁ 1 ψ(r,t) = (2π) 3/2 a(k) exp {i (k · r − ωt)} d 3 k (2.3.1) gilt mit folgendes: {︃ 1 c 2 ∂ 2 ∂t 2 − ∆ }︃ ψ(r,t) = ∂ ∂2 exp {. . .} = −iω exp {. . .} ⇒ ∂t ∂t 2 exp {. . .} = −ω2 exp {. . .} ∇ exp {. . .} = ik exp {. . .} ⇒ ∆ exp {. . .} = −k 2 exp {. . .} {︃∫︁ (︃ )︃ ∫︁ 1 (2π) 3/2 − ω2 c 2 a(k) exp {. . .} d 3 k + = k 2 a(k) exp {. . .} d 3 k ∫︁ {︃ }︃ 1 (2π) 3/2 k 2 − ω2 c 2 a(k) exp {. . .} d 3 k = ! 0 (2.3.2) }︃ und damit ω 2 = c 2 k 2 ⇒ ω = c|k|. (2.3.3) Im Falle von Materiewellen sollte analog gelten: 0 ! = = = und man erhält die ∫︁ {︃ (︂mc )︂ 1 2 }︃ (2π) 3/2 + k 2 − ω2 ħ c 2 {︃ (︂mc )︂ 1 2 ∫︁ (2π) 3/2 a(k) exp {. . .} d 3 k + ħ a(k) exp {. . .} d 3 k ∫︁ k 2 a(k) exp {. . .} d 3 k ∫︁ }︃ ω 2 − c 2 a(k) exp {. . .} d3 k (︂ )︂ mc 2 ψ(r,t) − ∆ψ(r,t) + 1 ∂ 2 ψ ħ c 2 ∂t 2 (2.3.4) Klein-Gordon-Gleichung eines kräftefreien Teilchens {︃ 1 c 2 ∂ 2 (︂ mc ∂t − ∆ + 2 ħ )︂ 2 }︃ ψ(r,t) = 0. (2.3.5) 1 Jean-Baptiste le Rond, genannt d’Alembert, 1717-1783, franz. Mathematiker, Physiker und Philosoph – 21 –
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