Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 9. Statistische Mechanik
Neben dieser Zustandsgleichung ist auch die Frage nach der Energiedichte eines Photonengases
interessant. Die Antwort ergibt sich wie folgt:
U
s. o.
↓
= 8πV
h 3
= 8πV
h 3
= 8πV
h 3
∫︁ ∞
p 2
0
∫︁ ∞
0
∫︁ ∞
0
∂ ln (︀ 1 − exp {︀ [︀ ]︀}︀)︀
−β 1 ɛ(p) − µ dp
∂β 1
Für Photonen gilt ɛ = pc und µ = 0, somit folgt
U = 8πV
h 3 c 3 ∫︁ ∞
0
ɛ=hν
ɛ 3
exp {︀ β 1 ɛ }︀ − 1 dɛ
p 2 1
1 − exp {︀ −β 1
[︀ ɛ(p) − µ
]︀}︀ exp {︀ −β 1
[︀ ɛ(p) − µ
]︀}︀ ɛ dp
ɛ(p)p 2
exp {︀ β 1
[︀ ɛ(p) − µ
]︀}︀ − 1
dp (9.3.21)
β 1 = 1
k B T
↓
= 8πVh
c 3
∫︁ ∞
0
ν 3
exp {︁ }︁ dν = ! V
hν
k B T − 1
∫︁ ∞
0
(︂ )︂ du
dν. (9.3.22)
dν
Dabei bezeichnet du die räumliche Energiedichte des Photonengases im Intervall [ν, ν+dν]
(vgl. Abschnitt 1.1.1). Damit folgt das Planck’sche Strahlungsgesetz:
Planck’sches Strahlungsgesetz
du = 8πhν3
c 3
[︃
exp
{︃ }︃ −1
hν
− 1]︃
dν (9.3.23)
k B T
Damit haben wir das schon im ersten Abschnitt der Vorlesung (Abschnitt 1.1.1) völlig
anders hergeleitete Strahlungsgesetz auch mit der Quantenstatistik gefunden und somit
die Konsistenz dieser Teilbereiche der Theoretischen Physik gezeigt. Für weitere Anwendungen
sei auf die weiterführenden Vorlesungen zur Statistischen Physik verwiesen.
– 124 –