Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 2. Wellenmechanik
Wellenfunktion formuliert 15,16,17 :
Born/Wiener-Interpretation der Wellenfunktion
Die Wahrscheinlichkeit, ein Quant zu einer bestimmten Zeit t bei einem Experiment in
einer Umgebung d 3 r um den Ort r anzutreffen, ist durch
gegeben.
|ψ(r,t)| 2 d 3 r (2.5.1)
In quantentheoretischer Interpretation gibt es keinen direkten Zusammenhang zwischen
der Bahn eines Quants und seiner Wellenfunktion. Insbesondere kann über die Bahn
eines Quants zwischen zwei Messungen nichts ausgesagt werden.
Aus obiger Interpretation folgt, dass das Amplitudenquadrat der Wellenfunktion als
Wahrscheinlichkeitsdichte
ϱ(r,t) := |ψ(r,t)| 2 = ψ * (r,t)ψ(r,t) (2.5.2)
gedeutet werden kann. Daraus folgt unmittelbar die Normierungsbedingung:
∫︁
ϱ(r,t) d 3 r ! = 1
⇔
∫︁
∫︁
|ψ(r,t)| 2 d 3 r =
ψ * ψ d 3 r ! = 1. (2.5.3)
Diese besagt, dass ein Quant zu jedem Zeitpunkt „irgendwo“ sein muss. Dass das
Raumintegral über |ψ| 2 nicht nur unabhängig vom Ort des Quants ist (trivial!), sondern
auch von der Zeit (so dass die Normierung erhalten bleibt!), sieht man an
∫︁
d
dt
ϱ d 3 r
r, t unabhängig
↓
=
∫︁ ∂ϱ
∂t d3 r ! = 0. (2.5.4)
Nun ist aber
∂ϱ
∂t = ∂ (︀ ψ * ψ )︀ = ψ ∂ψ* + ψ * ∂ψ
∂t
∂t ∂t . (2.5.5)
Mit den Schrödinger-Gleichungen iħ ∂ψ
∂t
= {︁ − ħ2
2m ∆ + V}︁ ψ und iħ ∂ψ*
∂t
= {︁ ħ 2
2m ∆ − V}︁ ψ * sowie
Ṽ = 2m
ħ 2 V erhält man
∂ϱ
∂t =
ħ {︁
ψ∆ψ * − ψṼψ * − ψ * ∆ψ + ψ * Ṽψ }︁ . (2.5.6)
2mi
15 M. Born: Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge. In: Zeitschrift für Physik A 38 (1926), S. 803-827,
DOI: 10.1007/BF01397184.
16 M. Born: Das Adiabatenprinzip in der Quantenmechanik. In: Zeitschrift für Physik A 40 (1927), S. 167-192,
DOI: 10.1007/BF01400360.
17 M. Born, N. Wiener: Eine neue Formulierung der Quantengesetze für periodische und nicht periodische
Vorgänge. In: Zeitschrift für Physik A 36 (1926), S. 174-187, DOI: 10.1007/BF01382261.
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