Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 2. Wellenmechanik
2.6. Erwartungswerte, Operatoren und das
Korrespondenzprinzip
Mit der Interpretation von ψ(r,t) als „Wahrscheinlichkeitswelle“ und von ϱ(r,t) = |ψ| 2
als Wahrscheinlichkeitsdichte liegt es nahe, folgende Erwartungswerte für den Ort und
Impuls eines Quants zu definieren:
Erwartungswerte für Ort und Impuls
∫︁
⟨r⟩ (t) =
∫︁
⟨︀ ⟩︀ p (t) =
∫︁
rϱ(r,t) d 3 r =
∫︁
pϱ(r,t) d 3 r =
∫︁
r|ψ(r,t)| 2 d 3 r =
∫︁
p|ψ(r,t)| 2 d 3 r =
ψ * rψ d 3 r
ψ * pψ d 3 r.
(2.6.1a)
(2.6.1b)
Bemerkung 2.6.1: Während ∫︀ ∫︀
ψ * ψ d 3 r zeitunabhängig ist [siehe Gleichung (2.5.4)], wird
ψ * f (r)ψ d 3 r i. a. zeitabhängig sein.
◭
Nehmen wir nun an, dass ⟨v⟩ = d⟨r⟩
dt
gilt, so folgt mit r = (x 1 , x 2 , x 3 ):
∫︁
∫︁ (︃
d ⟨x i ⟩ ∂ϱ
ħ [︀
= x i
dt ∂t d3 r = − x i ∇ · ψ * ∇ψ − ψ∇ψ *]︀)︃ d 3 r
2mi
Φ(∇ · A) = ∇(ΦA) − A · ∇Φ
↓
= − ħ
{︃ ∫︁
∇ · (︀x ∫︁
}︃
[︀
i ψ * ∇ψ − ψ∇ψ *]︀)︀ d 3 r − [. . .] · ∇x i d 3 r . (⋆)
2mi
⏟ ⏞ ⏟ ⏞
(*)
Umwandlung des ersten Integrals (*) von einem Volumen in ein Oberflächenintegral
liefert hierfür
∫︁
∇ · (︀x ∮︁
[︀
i ψ * ∇ψ − ψ∇ψ *]︀)︀ d 3 [︀
r = x i ψ * ∇ψ − ψ∇ψ *]︀ dA = 0, (♣)
A
da lim |r|→∞ ψ = 0. Das zweite Integral (**) führt auf
∫︁ [︀ψ * ∇ψ − ψ∇ψ *]︀ · ∇x i d 3 r =
∫︁
ψ * ∂ψ
∂x i
− ψ ∂ψ*
∂x i
d 3 r.
Einsetzen von Gl. (♣) und (♠) in (⋆) liefert mit partieller Integration
d ⟨x i ⟩
dt
= ħ
{︃ ∫︁
2mi
= ħ mi
∫︁
ψ * ∂ψ ∫︁ ∂
d 3 r −
∂x i
⏟ ⏞
∂x i
(︀ ψψ
* )︀ d 3 r
=0 wg. lim |r|→∞ ψ=0
∫︁
+
(**)
}︃ ∂ψ
ψ * d 3 r
∂x i
ψ * ∂ψ
∂x i
d 3 r (2.6.2)
(♠)
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