Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 2. Wellenmechanik
Bereits hier stellen wir fest, dass – wie auch immer die Wellenfunktion zu interpretieren
ist – die folgenden Zuordnungen gelten:
Eψ = iħ ∂ψ
∂t
⇒ E → iħ ∂ ∂t
(2.3.11a)
p 2
2m ψ = − ħ2
2m ∆ψ ⇔ p · pψ = −(ħ∇) · ħ(∇)ψ ⇒ p → ħ ∇.
i
(2.3.11b)
D. h. durch Anwendung dieser Differential-Operatoren auf die nicht beobachtbare Wellenfunktion
ψ(r,t) erhält man die vertrauten beobachtbaren Größen, die sogenannten
„Observablen“. Dieses Operator-Kalkül erlaubt es, die Schrödinger-Gleichung formal als
iħ ∂ ψ(r,t) = Ĥψ(r,t) (2.3.12)
∂t
zu schreiben, wobei Ĥ = − ħ2
2m∆ + V(r) als Hamilton-Operator bezeichnet wird, der direkt
zur Hamilton-Funktion der klassischen Mechanik korrespondiert 12 .
Bemerkung 2.3.8: Tatsächlich basierte Schrödingers ursprüngliche Herleitung auf dem
Hamilton’schen Formalismus der klassischen Mechanik.
◭
2.4. Eigenschaften der Schrödinger-Gleichung
Bevor wir uns der Interpretation von ψ(r,t) zuwenden, ist es lohnenswert, auf einige
Eigenschaften der Schrödinger-Gleichung hinzuweisen:
(a) Die Schrödinger-Gleichung ist linear, d. h. wenn ψ 1 (r,t) und ψ 2 (r,t) Lösungen sind,
ist auch ψ(r,t) = c 1 ψ 1 (r,t) + c 2 ψ 2 (r,t) mit c 1,2 ∈ C eine Lösung.
(b) Die explizit komplexe Form der Schrödinger-Gleichung führt zu Wellen- statt
Diffusionslösungen, die typisch für parabolische Differentialgleichungen mit reellen
Koeffizienten sind.
(c) Die komplex-konjugierte Schrödinger-Gleichung lautet
− iħ ∂ψ*
∂t
=
{︃
− ħ2
2m ∆ + V(r) }︃
ψ * , (2.4.1)
d. h. ψ * erfüllt nicht die Schrödinger-Gleichung, sondern ihre komplex-konjugierte
Version.
12 Siehe auch Kapitel 4.12.1 und Kapitel 6. im Skript „Theoretische Physik: Mechanik“ von R. Schlickeiser.
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