Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Anhang B.
Mathematische Grundlagen
B.1. Operatoren und Skalarprodukt
Sei im Folgenden mit L 2 der Raum der quadratintegrablen Funktionen bezeichnet, dann
gelten folgende Definitionen.
Definition B.1.1 [Operator]
Sei ψ(x) ∈ L 2 . Dann ist der Operator  über die Vorschrift
Âψ(x) = ϕ(x) ∈ L 2
definiert.
(B.1.1)
◭
Definition B.1.2 [Linearer Operator]
Der Operator  heißt linear, wenn mit Âψ 1 = ϕ 1 und Âψ 2 = ϕ 2 gilt:
Definition B.1.3 [Skalarprodukt]
Â(c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) = c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 mit c 1 ,c 2 ∈ C (B.1.2)
◭
Seien ϕ(x),ψ(x) ∈ L 2 zwei Wellenfunktionen. Das Skalarprodukt (ϕ,ψ) ist definiert über
⟨ ⃒ ⃒⃒ψ
⟩
∫︁
ϕ = (ϕ,ψ) ≔ ϕ * (x)ψ(x) d 3 x
(B.1.3)
und besitzt die folgenden Eigenschaften:
(ϕ,ψ) * = (ψ,ϕ)
(ϕ,c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) = c 1 (ϕ,ψ 1 ) + c 2 (ϕ,ψ 2 )
(B.1.4a)
(B.1.4b)
(c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 ,ψ) = c * 1 (ϕ 1,ψ) + c * 2 (ϕ 2,ψ) (B.1.4c)
Für Operatoren im Skalarprodukt gilt:
∫︁
(ϕ,Âψ) =
(ϕ,ϕ) ≥ 0 und damit (ϕ,ϕ) = 0 ⇔ ϕ ≡ 0 (B.1.4d)
ϕ * (x)Aψ(x) d 3 x
(B.1.5)
◭
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