Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

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Kapitel 9. Statistische Mechanik
9.2. Phasenraumdichte und Dichtematrix
Für die letztlich notwendige quantenmechanische Behandlung der Statistischen Physik
(vgl. Abschnitt 7.3.4) ist der Begriff der „Dichtematrix“ (oder auch „Dichteoperator“)
zentral. Die Motivation für deren Definition ergibt sich (nach dem Korrespondenzprinzip,
vgl. Abschnitt 2.6) durch Vergleich mit der entsprechenden klassischen Beschreibung.
Letztere stellt zunächst einen Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeiten p i
und der Phasenraumdichte (oder auch „Ensembledichte“) her. Um diesen einzusehen,
betrachten wird im nächsten Abschnitt die Mikrodynamik im (klassischen) Phasenraum.
9.2.1. Mikrodynamik im (klassischen) Phasenraum
Ein durch (︀ q(t),p(t) )︀ definierter Mikrozustand bewegt sich im Phasenraum (q,p) entlang
einer Trajektorie (eine solche Bahn im Phasenraum heißt Ergode), die durch die
Hamilton’schen Gleichungen
˙q(t) = ∂H
∂p
; ṗ(t) = − ∂H
∂q
; H ˆ= Hamiltonfunktion (9.2.1)
definiert ist. Im Allgemeinen gibt es 3N Koordinatensätze (q,p), der übersichtlichen
Notation zuliebe ist hier aber nur (q,p) verwendet.
p
t = τ
t = 0
(q(t),p(t))
ˆ= Phasenraumtrajektorie
(ˆ= Ergode)
q
Abbildung 9.1: Phasenraumtrajektorie
Wenn x eine Zustandsgröße ist, dann kann deren mittlerer Wert im Zeitintervall [0,τ] als
¯x τ = 1 ∫︁ τ
x(q(t),p(t)) dt = x(q,p) ¯ϱ τ (q,p) dq dp (9.2.2)
τ
mit
0
¯ϱ τ = 1 τ
∫︁ τ
0
δ(q − q(t)) δ(p − p(t)) dt (9.2.3)
definiert werden, so dass ¯ϱ τ dq dp als derjenige Bruchteil der Zeit τ interpretiert werden
kann, während der die Trajektorie x(q(t),p(t)) im Volumen dq dp bei (q,p) verläuft.
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