Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Anhang B. Mathematische Grundlagen
Definition B.1.4 [adjungierter Operator]
Sei ϕ(x),ψ(x) ∈ L 2 und  ein Operator. Dann heißt  † der zu  adjungierte Operator genau
dann, wenn gilt
∫︁ (︁†
(Â † ϕ,ψ) = (ϕ,Âψ) d. h. ϕ )︁ ∫︁
*
ψ d 3 x = ϕ * Âψ d 3 x. (B.1.6)
◭
Definition B.1.5 [hermitescher Operator]
Ein Operator  heißt hermitesch, wenn gilt
und man schreibt dann 1 auch  † = Â.
(Âϕ,ψ) = (ϕ,Âψ)
(B.1.7)
◭
Satz B.1.6
Für Operatoren gelten die folgenden Identitäten:
(︁Â
ˆB )︁ †
= ˆB † Â †
[︁Â
ˆB,Ĉ ]︁ = Â [︁ ˆB,Ĉ ]︁ + [︁ Â,Ĉ ]︁ ˆB
[︁Â,
ˆB ]︁ †
=
[︁ ˆB † , †]︁
(B.1.8a)
(B.1.8b)
(B.1.8c)
◭
Satz B.1.7 [Schwarzsche Ungleichung]
Seien ϕ(x),ψ(x) ∈ L 2 zwei Wellenfunktionen, dann gilt für das Skalarprodukt (ϕ,ψ) die
Schwarzsche Ungleichung:
⃒
⃒(ϕ,ψ) ⃒ 2
⃒ ≤ (ϕ,ϕ)(ψ,ψ)
(B.1.9)
◭
1 In der Mathematik wird die Operatoridentität  † =  nur unter strengeren Voraussetzungen verwendet
und dann  selbstadjungiert genannt.
– 130 –