Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 4.
Systeme von Quanten
Bisher haben wir lediglich den Fall eines Teilchens in einem Potential betrachtet. Um kompliziertere
Atome und insbesondere den Aufbau des Periodensystems der Elemente zu
verstehen, muss man zunächst eine quantentheoretische Beschreibung von so genannten
Mehrteilchensystemen entwickeln.
4.1. Die Schrödinger-Gleichung für Teilchensysteme
War bisher die Wellenfunktion für ein Teilchen durch ψ(r,t) gegeben, so muss im Falle
mehrerer Teilchen eine Funktion ψ N (r 1 ,r 2 , . . . ,r N ,t) betrachtet werden. Analog zum
1-Teilchen-Fall (vergleiche Abschnitt 2.5) ist dann
|ψ N | 2 d 3 r 1 d 3 r 2 . . . d 3 r N (4.1.1)
die Wahrscheinlichkeit dafür, ein System aus N-Teilchen zum Zeitpunkt t in einem
Zustand vorzufinden, bei dem sich Teilchen 1 in d 3 r 1 , Teilchen 2 in d 3 r 2 usw. befindet.
Die Schrödinger-Gleichung lautet dann
iħ ∂ψ N
∂t
= Ĥ N ψ N = −
N∑︁
j=1
ħ 2
2m j
∆ j ψ N + V(r 1 ,r 2 , . . . ,r N )ψ N (4.1.2)
mit ∆ j = ∂2 + ∂2 + ∂2 , wenn r
∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 j = (︁ )︁
x j,1 , x j,2 , x j,3 .
j,1 j,2 j,3
Es gibt – im wesentlichen Unterschied zur klassischen Physik – nun eine neue (weitere)
„Unbestimmtheit“ im Falle identischer Teilchen:
Sind z. B. zu einem Zeitpunkt t = 0 die wahrscheinlichsten Aufenthaltsorte zweier
Elektronen gemäß |ψ 2 (r 1 ,r 2 ,0)| 2 d 3 r 1 d 3 r 2 bekannt, so ist zu einem späteren Zeitpunkt t > 0
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