Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

3.5. Konservative Zentralkraftsysteme
l m Y lm (ϑ,ϕ)
0 0
1
2 √ π√︁
1 ±1 ∓ 1 2
0
1
2
2 ±2
1
4
±1 ∓ 1 2
0
1
4
3 ±3 ∓ 1 8
±2
1
4
±1 ∓ 1 8
0
1
4
√︁
3
√︁
15
3
2π
π cos ϑ
sin ϑ e±iϕ
2π sin2 ϑ e ±2iϕ
√︁
15
2π
√︁
5
π
cos ϑ sin ϑ e±iϕ
(︁
3 cos 2 ϑ − 1 )︁
√︁
35
√︁
105
π sin3 ϑ e ±3iϕ
2π cos ϑ sin2 ϑ e ±2iϕ
√︁
21
√︁
7
π
π sin ϑ (︁ 5 cos 2 ϑ − 1 )︁ e ±iϕ
(︁
5 cos 3 ϑ − 3 cos ϑ )︁
Tabelle 3.2: Kugelflächenfunktionen
Dann folgt mit ˆp = ħ i ∇
ˆp 2 = −ħ 2 (∇ · ∇) = −ħ 2 ∆ = ˆp 2 r − ħ2
{. . .} , (3.5.13)
r2 wobei sich ˆp r wegen
ˆp 2 r = −ħ 2 1 [︃
∂
r 2 r 2 ∂ ]︃
∂r ∂r
⇒
ˆp r = ħ i
[︃
∂
∂r + 1 r
]︃
= ħ i
1
r
∂
{r(. . .)} (3.5.14)
∂r
als Operator für den Impuls in radialer Richtung interpretieren lässt, so dass in Analogie
zur klassischen Mechanik der winkelabhängige Teil zum Drehimpulsquadrat(operator)
korrespondieren sollte und man erhält:
und
Hamilton-Operator für Konservative Zentralkraftsysteme
Ĥ = − ħ2
2m ∆ + V(r) = ˆp2 r
2m + ˆL 2
+ V(r) (3.5.15)
2mr2 Drehimpulsquadrat-Operator für Konservative Zentralkraftsysteme
{︃
1
ˆL 2 = −ħ 2 ∂
sin ϑ ∂ϑ
(︃
sin ϑ ∂
)︃
+ 1
∂ϑ
}︃
∂ 2
. (3.5.16)
sin 2 ϑ ∂ϕ 2
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