Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 9. Statistische Mechanik
Diese Darstellung ist ein geeigneter Ausgangspunkt für die Untersuchung von Quantengasen.
9.3.2. Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Statistik
Für Bosonen (vgl. Abschnitt 4.1) gilt kein Pauli-Prinzip, d. h. es können beliebig viele
(ununterscheidbare) Teilchen in einem (durch Quantenzahlen charakterisierten) Zustand
sein (⇒ n ν = 0,1,2, . . .). Damit erhält man
∏︁
Z G =
ν
∞∑︁ (︀ {︀ [︀ )︀}︀)︀ exp −β1 ɛ(ν) − µ
nν
n ν =0
geometr. Reihe; ɛ(ν) > µ
Für Fermionen gilt das Pauli-Prinzip (⇒ n ν = 0,1) und damit
∏︁
Z G =
ν
↓
=
∏︁ (︀ {︀ [︀ ]︀}︀)︀ 1 − exp −β1 ɛ(ν) − µ −1
. (9.3.3)
ν
1∑︁ (︀ {︀ [︀ ]︀}︀)︀ ∏︁
exp −β1 ɛ(ν) − µ
nν
(︀ {︀ [︀ ]︀}︀)︀
= 1 + exp −β1 ɛ(ν) − µ . (9.3.4)
n ν =0
Oft werden die mittleren Besetzungszahlen ⟨n ν ⟩ betrachtet, die aus
⟨n ν ⟩ = − 1 1 ∂Z G
β 1 Z G ∂ɛ(ν) ⃒ = − 1 ∂
β2
β 1 ∂ɛ(ν) ln Z G
⃒ (9.3.5)
β2
berechnet werden können. Für Bosonen folgt:
⟨n ν ⟩ BE = − 1 ∂
∏︁
β 1 ∂ɛ(ν) ln (︀ {︀ [︀ 1 − exp −β1 ɛ(ν ′ ) − µ ]︀}︀)︀ −1
= 1 β 1
∂
∂ɛ(ν)
ν ′
∑︁
ln (︀ 1 − exp {︀ [︀
−β 1 ɛ(ν ′ ) − µ ]︀}︀)︀
ν ′
ν
= 1 β 1
(︀ 1 − exp
{︀ −β1
[︀ ɛ(ν) − µ
]︀}︀)︀ −1
exp {︀ −β 1
[︀ ɛ(ν) − µ
]︀}︀
β1
=
Und analog für Fermionen:
1
exp {︀ β 1
[︀ ɛ(ν) − µ
]︀}︀ − 1
(9.3.6)
⟨n ν ⟩ FD = − 1 ∂
∏︁
β 1 ∂ɛ(ν) ln (︀ {︀ [︀ 1 + exp −β1 ɛ(ν ′ ) − µ ]︀}︀)︀
= − 1 β 1
∂
∂ɛ(ν)
Insgesamt gilt also:
∑︁
ν ′
ν ′ ln (︀ 1 + exp {︀ −β 1
[︀ ɛ(ν ′ ) − µ ]︀}︀)︀ =
1
exp {︀ β 1
[︀ ɛ(ν) − µ
]︀}︀ + 1
(9.3.7)
MB ˆ= beliebig viele unterscheidbare Teilchen in einem Zustand;
BE ˆ= beliebig viele ununterscheidbare Teilchen in einem Zustand;
FD ˆ= maximal eines von ununterscheidbaren Teilchen in einem Zustand.
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