Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

3.3. Allgemeines zu Potentialen, gebundenen und Streuzuständen
Die Schrödingergleichung lautet
im Intervall I 1 , I 3 :
und im Intervall I 2 :
− ħ ∂ψ
i ∂t = − ħ2 ∂ 2 ψ
2m ∂x 2
− ħ ∂ψ
i ∂t = − ħ2 ∂ 2 ψ
2m ∂x 2 − V 0ψ.
Mit dem Separationsansatz (vgl. Abschnitt 3.2) ψ(x,t) = Y(x)T(t) folgt
(3.3.2a)
(3.3.2b)
bzw.
im Intervall I 1 , I 3 :
und im Intervall I 2 :
− ħ2
2m
− ħ2
∂ 2 Y
∂x 2 = EY
2m
∂ 2 Y
∂x 2 − V 0Y = EY
im Intervall I 1 , I 3 :
und im Intervall I 2 :
Zusammengefasst gilt also
∂ 2 Y
∂x 2 + k2 Y = 0 mit k 2 =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂ 2 Y
∂x 2 + 2mE
ħ 2 Y = 0
∂ 2 Y
∂x 2 + 2m(E + V 0)
ħ 2 Y = 0.
2mE
ħ 2 ; I 1 , I 3 .
2m(E+V 0 )
ħ 2 ; I 2 .
Die prinzipielle Lösungsform folgt aus dem Vorzeichen der Konstanten k 2 :
(3.3.3)
k 2 > 0: Schwingungsgleichung, also
Y(x) = A exp {ikx} + B exp {−ikx} (3.3.4)
k 2 < 0: Konstante k ist (rein) imaginär, so dass Y(x) exponentielles Verhalten hat. Die
Normierbarkeit ∫︀ ∞
−∞ |Y| dx < ! ∞ erzwingt:
⎧
⎪⎨ C exp {|k|x} ; x < −a
Y(x) =
(3.3.5)
⎪⎩ D exp {−|k|x} ; x > a
Aus der Bedingung, dass die Wellenfunktion ψ(x) stetig differenzierbar sein muss, folgt
die Stetigkeit von Y und Y ′ bei x = ±a. Diese Anschlussbedingungen legen die Konstanten
A, B, C und D fest.
Prinzipiell erhält man
das nebenstehende
Schema, aus dem
man anschaulich
Abbildung 3.4 abliest.
I 1 I 2 I 3
E > 0 k 2 > 0
Schwingungslösung
E < 0 k 2 < 0
Dämpfungslösung
k 2 > 0
Schwingungslösung
k 2 > 0
Schwingungslösung
k 2 > 0
Schwingungslösung
k 2 < 0
Dämpfungslösung
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