Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

9.3. (Ideale) Quantengase
Mit dem „Trick“
∂
∂ ∂(ɛβ
∂β 1
=
1 )
∂(ɛβ 1 )
∂ ∂
=
∂ɛ ∂(ɛβ 1 )
∂β 1
= ɛ ∂
∂(ɛβ 1 )
∂(ɛβ 1 )
∂
= β
∂ɛ 1 ∂(ɛβ 1 )
⎫
⎪⎬
⎪⎭
∂
= ɛ ∂
∂β 1 β 1 ∂ɛ
(9.3.17)
folgt
U = 8πV
h 3
∫︁ ∞
0
p 2 ɛ β 1
∂
∂ɛ ln (︀ 1 − exp {︀ −β 1
[︀ ɛ(p) − µ
]︀}︀)︀ dp. (9.3.18)
Mit dem Ansatz: ɛ(p) = ap α , α > 0 ⇒ ∂ɛ
∂p = αɛ
p
U = 8πV ∫︁
1 ∞
h 3 αβ 1
part. Integration
↓
= 8πV
[︃
1
h 3 αβ
0
0
⇒ ∂ ∂ɛ = p αɛ
p 3 ∂ ∂p ln (︀ 1 − exp {︀ −β 1
[︀ ɛ(p) − µ
]︀}︀)︀ dp
α > 0
↓
=[p 3 ln(...)] ∞ = 0 p=0
∂
∂p
⏞ ⏟
∫︁ ∞
∂ [︁
p 3 ln (︀ 1 − exp {︀ [︀ ]︀}︀)︀
−β ]︁ 1 ɛ(p) − µ dp
∂p
= − 3 ∫︁
8πV ∞
αβ 1 h 3 p 2 ln (︀ 1 − exp {︀ [︀ ]︀}︀)︀
−β 1 ɛ(p) − µ dp
0
folgt für die innere Energie:
∫︁ ∞
− 3 p 2 ln (︀ 1 − exp {︀ ]︃
[︀ ]︀}︀)︀
−β 1 ɛ(p) − µ dp
0
β
s. o.
1 = 1
k B T
↓
= 3 ↓
ln Z G = 3 αβ 1 α k BT ln Z G (I)
Weiter gilt (vgl. Abschnitt 9.1.2: nicht nur für Photonengase mit µ = 0, s. u.)
Aus (I) und (II) folgt nun
Tk B ln Z G = −(U − TS − µN)
8.7.1: F=U−TS
8.7.2: G=µN
und da für Photonen ɛ = pc (⇒ α = 1) gilt, folgt die
8.7.1: G = F + pV
↓
↓
= −(F − G) = +pV. (II)
U = 3 α k BT ln Z G = 3 pV (9.3.19)
α
Zustandsgleichung des Photonengases
U = 3pV (9.3.20)
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