Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 1. Warum Quantentheorie?
und damit die
de Broglie-Wellenlänge eines (freien Materieteilchens)
λ = h p . (1.2.14)
Wegen λ = 2π k
schreibt man auch
und verallgemeinert auf den
2π
k = h p
⇒
p = h k ≕ ħk (1.2.15)
2π
Wellenzahlvektor eines Materieteilchens bzw. der Impuls eines Photons
p = ħk. (1.2.16)
Bemerkung 1.2.4:
1. Damit zeigt sich, dass tatsächlich Wellentheorie und Mechanik nicht nur formal
ähnlich sind, denn mit der de Broglie-Wellenlänge geht das Fermat’sche Prinzip 40
∫︁ 1
δ ds = 0 (1.2.17a)
λ
in das Prinzip der kleinsten (extremalen) Wirkung
∫︁
δ p ds = 0
(1.2.17b)
über.
2. Wie erwartet verschwindet die de Broglie-Wellenlänge eines „klassischen“ Teilchens
(h → 0!). ◭
Mit den Materiewellen kann die Bohr’sche Quantisierungsbedingung [Gleichung (1.2.2)]
einfach erklärt (?) bzw. interpretiert werden:
mv n r n = nħ ⇔ 2πp n r n = nh
⇔
2πr n = nh
p n
= nλ n . (1.2.18)
D. h. der Umfang einer Elektronenbahn ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elektronenwellenlänge.
Anschaulich entspricht also die Elektronenbahn einer stehenden Welle (siehe
Abbildung 1.4).
40 Pierre de Fermat, 1607-1665, franz. Mathematiker und Jurist
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