Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 1. Warum Quantentheorie?
Bohr’sche Quantisierungsbedingung
l n = n h
2π = nħ ⇔ mv nr n = nħ. (1.2.2)
Auf dieser Weise lassen sich tatsächlich die Serien in den Linienspektren beschreiben,
was im Folgendem am Beispiel des Wasserstoffatoms gezeigt wird.
Für die stationäre Elektronenbahn beim Wasserstoffatom müssen Zentripetalkraft F Z
und die elektrostatische Anziehung zwischen dem Elektron und dem Wasserstoffkern
(Proton) F C betragsmäßig gleich sein, also
|F z | = |F C | ⇔ mv2
r
= 1
4πɛ 0
e 2
r 2 ⇔ mvr = e2
4πɛ 0 v
!
= nħ, (1.2.3)
wobei die Bohr’sche Quantisierungsbedingung [Gleichung (1.2.2)] verwendet wurde.
Damit erhält man für die Geschwindigkeit und den Radius auf einer Bahn:
Für die kinetische Energie erhält man
sowie für die potentielle Energie
v n =
e2 1
2ɛ 0 h n und r n = ɛ 0h 2
πme 2 n2 . (1.2.4)
E kin,n = 1 2 mv2 n = me4
8ɛ 2 0 h2 1
n 2 (1.2.5)
E pot,n = − e2
4πɛ 0
1
r n
= − me4
4ɛ 2 0 h2 1
n . (1.2.6)
Bei einem „Bahnwechsel“ n → m gilt
∆E kin = me4
8ɛ 2 0 h2 (︂ 1
m 2 − 1 n 2 )︂
∆E pot = me4
4ɛ 2 0 h2 (︂ 1
m 2 − 1 n 2 )︂
(1.2.7a)
(1.2.7b)
und somit
⇒
∆E = hν = ∆E pot − ∆E kin = me4
8ɛ 2 0 h2 (︂ 1
m 2 − 1 n 2 )︂
(1.2.8)
ν = me4
8ɛ 2 0 h3 (︂ 1
m 2 − 1 n 2 )︂
. (1.2.9)
Für den Übergang auf die zweite Schale, also m = 2, erhält man die Balmer-Serie [vgl. Gleichung
(1.2.1)]
(︂
ν = me4 1
8ɛ 2 0 h3 4 − 1 )︂ (︂ 1
n 2 = cR
4 − 1 )︂
n 2 (1.2.10)
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