Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 3. Lösung der Schrödinger-Gleichung für spezielle physikalische Systeme
Dieser führt auf die Rekursionsformel für die Koeffizienten a m :
√
−E(m + l + 1) − 1
a m+1 = 2
(m + l + 1)(m + l + 2) − l(l + 1) a m. (3.5.26)
Die Potenzreihe bricht mit n r ∈ N 0 ab für:
√
−E =
1
n r + l + 1
⇒
1
E = −
(n r + l + 1) 2 ≕ − 1 n 2 . (3.5.27)
Die dadurch definierten Lösungen sind die (assoziierten) Laguerre’schen Polynome 13 :
Assoziiertes Laguerre-Polynom vom Grad n r
wobei
L 2l+1
n+l
(︃ )︃ 2ϱ
=
n
∑︁n r
m=0
a m ϱ m
L k dk
j
(x) =
dx L j(x)
k
das assoziierte Laguerre-Polynom und
(3.5.28a)
(3.5.28b)
das Laguerre-Polynom ist.
L j (x) = exp {x} dj
dx j [︁
exp {−x} x
j ]︁
(3.5.28c)
Daraus folgt für den gesamten Radialanteil R l (r)
R nl (r) = u l(r)
r
= ˜c {︂
nl
r exp − r
a 0 n
= c nl
(︂ 2r
a 0 n
}︂
v nl = ˜c nl
)︂ l
exp
{︂
− r
a 0 n
{︂
r exp − r
a 0 n
}︂ (︂ )︂ 2r
L 2l+1
n+l
a 0 n
}︂ (︂ )︂ r l+1 (︂ )︂ 2r
L 2l+1
a
n+l
0 a 0 n
(3.5.29a)
mit der Normierungskonstanten
c nl =
√︃ (︂ 2
na 0
)︂ 3
(n − l − 1)!
2n[(n + l)!] 3 .
(3.5.29b)
Bemerkung 3.5.6: Hier ist die Bezeichnung der Radialfunktion von R l (r) auf R nl (r) wegen
der obigen Abbruchbedingung der Potenzreihe (bzw. dem Grad der Laguerre-Polynome)
geändert.
◭
13 Edmond Nicolas Laguerre, 1834-1886, franz. Mathematiker
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