Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

3.4. Der Tunneleffekt
3.4. Der Tunneleffekt
Die im letzten Abschnitt erwähnte nicht-verschwindende Wahrscheinlichkeit, dass ein
Quant mit E < V 0 einen Potentialberg der Höhe V = V 0 durchdringt (was klassisch
unmöglich wäre), nennt man Tunneleffekt. Letzteres ist zum Verständnis verschiedener
physikalischer Prozesse notwendig. Um das für den α-Zerfall genauer illustrieren zu
können, befassen wir uns zuvor mit einer (auch in anderen Zusammenhängen oft hilfreichen)
Methode zur Berechnung von Näherungslösungen der stationären Schrödingergleichung
(deren exakte Lösung – wenn überhaupt – meist nur mit erheblichem mathematischem
Aufwand möglich ist).
3.4.1. Die WKB-Approximation
Die WKB-Approximation wurde 1926 in drei verschiedenen Arbeiten von Wentzel 3 ,
Kramers 4 und Brillouin 5 entwickelt 6,7,8 . Ausgehend von
− ħ2
2m
ergibt sich mit p2
2m = E − V ⇔ p = ± √︀ 2m(E − V):
d 2 ψ
+ V(x)ψ = Eψ (3.4.1)
dx2 d 2 ψ
dx 2 = −p2 ψ. (3.4.2)
ħ2 Da ψ(x) im Allgemeinen eine komplexwertige Funktion ist, kann man ansetzen:
ψ(x) = A(x) exp {iΦ(x)} (3.4.3)
mit der reellen Amplitude A(x) und der reellen Phase Φ(x). Einsetzen in die Schrödinger-
Gleichung (3.4.2) liefert
d 2 (︂ )︂
A
dx 2 + 2idA dΦ
dx dx + Φ dΦ 2 iAd2 dx 2 − A = − p2
A. (3.4.4)
dx ħ2 3 Gregor Wentzel, 1898-1978, dt. Physiker
4 Hendrik Anthony Kramers, 1894-1952, niederl. Physiker
5 Léon Brillouin, 1889-1969, franz.-amerik. Physiker
6 G. Wentzel: Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik. In:
Zeitschrift für Physik A 38 (1926), S. 518-529, DOI: 10.1007/BF01397171.
7 H. A. Kramers: Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung. In: Zeitschrift für Physik A 39 (1926),
S. 828-840, DOI: 10.1007/BF01451751.
8 L. Brillouin: La mécanique ondulatoire de Schrödinger, une méthode générale de résolution par approximations
successives. In: Comptes Rendus Acad. Sci. 183 (1926), S. 24-26.
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