Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 2. Wellenmechanik
Diese Gleichung beschreibt relativistisch die Materiewelle, die mit einem sich kräftefrei
bewegenden Teilchen assoziiert ist.
Bemerkung 2.3.1: Im Falle verschwindender Ruhemasse m = 0, also für Photonen,
geht die Klein-Gordon-Gleichung 2,3 in die wohlbekannte Wellengleichung (s. o.) der
elektrodynamischen Potentiale über.
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Bemerkung 2.3.2: Wie bereits in der Elektrodynamik, wird auch in der Quantenmechanik
oft der Quabla- bzw. d’Alembert-Operator verwendet:
□ := 1 c 2 ∂ 2
∂t 2 − ∆ ⇒ {︃
□ +
(︂ )︂ mc 2
}︃
ψ(r,t) = 0. (2.3.6)
ħ
◭
Bemerkung 2.3.3: Wenn man die Klein-Gordon-Gleichung verwendet ergaben sich
allerdings Probleme mit der sogenannten „Kontinuitätsgleichung“ der Quantenmechanik.
Das führte schließlich zur Dirac-Gleichung 4 .
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Betrachtet man nur den nicht-relativistische Fall, so gilt analog:
0 ! =
=
= 1 i
∫︁ (︃
1 ħ
(2π) 3/2
{︃
1
(2π) 3/2 −
)︃
2m k2 − ω a(k) exp {. . .} d 3 k
∫︁
ωa(k) exp {. . .} d 3 k + ħ ∫︁
2m
k 2 a(k) exp {. . .} d 3 k
∂
∂t ψ(r,t) − ħ ∆ψ(r,t) (2.3.7)
2m
und man erhält, durch Multiplikation mit −ħ, die
}︃
Schrödinger-Gleichung eines kräftefreien Teilchens
iħ ∂ ħ2
ψ(r,t) = − ∆ψ(r,t) (2.3.8)
∂t 2m
Bemerkung 2.3.4: Die Multiplikation mit ħ erfolgt aus (später einsehbaren) praktischen
Gründen: so erhält man als Dimension der Terme nämlich eine „Energie“.
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2 Oskar Benjamin Klein, 1894-1977, schwed. Physiker
3 Walter Gordon, 1893-1939, dt. Physiker
4 Paul Adrien Maurice Dirac, 1902-1984, en. Physiker, Physik-Nobelpreis 1933
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