Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

9.1. Die Zustandssumme und die statistischen Gesamtheiten
G: ⟨︀ ⟩︀
x 1,i = X1 ; ⟨︀ ⟩︀
x 2,i = X2 ⇔ ⟨E i ⟩ = U; ⟨N i ⟩ = N
∑︁
⇒ β 1 0, β 2 0 ⇒ Z G = exp {︀ }︀
−β 1 E i − β 2 N i
Ähnlich wie oben folgt:
i
⇒ p i = 1
Z G
exp {︀ −β 1 E i − β 2 N i
}︀
⇒ S G = k B ln Z G + k B β 1 U + k B β 2 N
s. o.
β 1 = 1
k B T ; ∂S G
∂N = k ↓
Bβ 2 = − µ T
↓
= k B ln Z G + U T − µN T
p = k B T ∂
∂V ln Z G
U = − 1
Z G
∂Z G
∂β 1
⃒ ⃒⃒⃒⃒β2
=−β 1 µ=const.
N = − 1
Z G
∂Z G
∂β 2
⃒ ⃒⃒⃒⃒β1
(9.1.7a)
(9.1.7b)
(9.1.7c)
Bemerkung 9.1.5: Die drei Gesamtheiten M, K und G sind im („thermodynamischen“)
Grenzfall großer Teilchenzahlen äquivalent, d. h. man muss meist nicht zwischen Z M , Z K ,
Z G usw. unterscheiden.
◭
Bemerkung 9.1.6: Wegen obiger Bemerkung, der recht strikten Vorgaben für M und der
wegen des zusätzlichen Parameters β 2 „unhandlichen“ Gesamtheit G, wird oft (wie der
Name schon andeuten mag) die kanonische Gesamtheit verwendet.
◭
9.1.3. Die Zustandssumme des klassischen idealen Gases
Die kontinuierliche Verallgemeinerung der (diskreten) kanonischen Zustandssumme
(vgl. voranstehende Bemerkung) Z K = ∑︀ i exp {︁ − E i
k B T
}︁
lautet mit
∑︁ ∫︁
i
E i
3N∑︁
s=1
∫︁
· · ·
p 2 s
2m
d 3 r 1 · · · d 3 r n
⏟ ⏞
= d 3N q
d 3 p 1 · · · d 3 p n ≕
⏟ ⏞
= d 3N p
d 3N q d 3N p
und der Einteilung des Phasenraums Γ in Zellen der Größe h 3N (s. o.) sowie der Annahme
nicht-unterscheidbarer Teilchen (Faktor 1 N! )
⎧
⎫
1
⎪⎨
3N∑︁
Z K =
h 3N exp
N! ⎪⎩ − p 2 s
⎪⎬
2mk B T ⎪⎭ d3N q d 3N p = Z(T,V,N). (9.1.8)
s=1
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