Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

9.2. Phasenraumdichte und Dichtematrix
Die hier gemachten Überlegungen kann man nun analog für die Mikrodynamik im
Hilbert-Raum nachvollziehen.
9.2.2. Mikrodynamik im (quantenmechnischen) Hilbert-Raum
Formal gelten die Korrespondenzen:
klass. Phasenraumpunkt (q(t),p(t)) ↔ Zustandsvektor |s(t)⟩ im Hilbertraum
(vgl. Abschnitt 2.8)
klass. Ensemblemittelwert ↔ quantenmechanischer Ensemblemittelwert
¯x(t) = x(q(t),p(t))ϱ(p,q,t) dq dp ↔ ⟨x⟩ (t) = ∑︀ s p(s) ⟨s(t) | ˆx| s(t)⟩
Dabei genügt der Zustandsvektor |s(t)⟩ der Schrödingergleichung
iħ ∂ |s(t)⟩
∂t
= Ĥ |s(t)⟩ mit Ĥ = Hamilton-Operator. (9.2.11)
Aus dem Ausdruck für den quantenmechanischen Ensemblemittelwert lässt sich eine
zur klassischen Phasenraumdichte analoge Größe definieren:
∑︁
⟨x⟩ (t) = p(s) ⟨s(t) | ˆx| s(t)⟩ (*) ∑︁ ∑︁ ⟨
= s ′ (t) ⃒ ⟩ ⟨︀ ⃒s(t) p(s) s(t) | ˆx| s ′ (t) ⟩︀
s
s
s ′
∑︁
≕
⟨
s ′ (t) ⃒ ⃒
⃒
⃒⃒
ˆϱ(t) ˆx s ′ (t) ⟩ = Sp( ˆϱ(t) ˆx) (9.2.12)
s ′
Bei (*) wurde ausgenutzt, dass die Zustände |s(t)⟩ eine vollständige Basis bilden, d. h.
∑︁
|s(t)⟩ ⟨s(t)| = 1 (9.2.13)
s
(die oft auch orthonormiert ist, d. h. ⟨ s ′ (t) ⃒ ⃒ ⃒s(t)
⟩
= δss ′) und die nachfolgend definierte
Dichte-Matrix verwendet.
Dichte-Matrix
Die Dichte ist definiert über:
∑︁
ˆϱ(t) ≔ |s(t)⟩ p(s) ⟨s(t)| . (9.2.14)
s
Für sie gilt:
ˆϱ(t) |s(t)⟩ = p(s) |s(t)⟩ und Sp( ˆϱ(t)) = 1. (9.2.15)
Aus der klassischen allgemeinen Gesamtheit
⎧
∑︁ ⎪⎨
∑︁
⎫⎪ ⎬
Z = exp
⎪⎩ − β j x j,i
⎪ ⎭
i
j
⎧
⎪⎨
∑︁
⎫⎪ ⎬
exp
⎪⎩ − β j x j dq dp
⎪ ⎭
j
(9.2.16a)
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