Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

3.4. Der Tunneleffekt
über die Lebensdauer τ Kern des Kerns bis zum α-Zerfall:
V(r)
E
∼ 1 r
−V 0
r 0 r 1
Atomkernpotential
zurBindung der pos.
geladenenNukleonen
Atomhüllenpotential
ˆ=Coulombpotential
r
⎧
⎪⎨ −V 0 ; r < r 0
V(r) =
(3.4.15)
⎪⎩ 1 2Ze 2
4πɛ 0 r
; r ≥ r 0
q Kern = Ze ; q α = 2e
Abbildung 3.7: Atomkernpotential
Mit der WKB-Näherung (3.4.1) erhält man also:
⎧
∫︁
√︃
r1
(︃
⎪⎨
T ≈ exp
⎪⎩ −2 2m
ħ r 0
{︃
= exp − 2 [︃
√
2mE r 1 arccos
ħ
1 2Ze 2
4πɛ 0 r
⎫
)︃ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨⎪⎩
− E dr
⎪⎭ = exp − 2 ħ
]︃}︃
√︂
r0
r 1
− √︀ r 0 (r 1 − r 0 )
∫︁ r1
Für die Wahrscheinlichkeit einer α-Teilchen-Emission gilt allgemein:
(︁ )︁ (︁ Entweichwahrscheinlichkeit Frequenz mit der das α-Teilchen
pro Zeiteinheit =
⏟ ⏞
v
2r 0
mit der Geschwindigkeit v des α-Teilchens.
die Wände des Kernpotentials trifft
r 0
√︂
⎫
(︂ )︂ r1
2mE
r − 1 ⎪⎬
dr⎪⎭
{︂
≈ exp − 2 √ [︂ π 2mE
ħ 2 r 1 − 2 √ ]︂}︂
r 0 r 1
)︁
× (︁ )︁
Entweichwahrscheinlichkeit
⏟ ⏞
T
Daraus folgt für die Lebensdauer des Kerns bis zur α-Emission:
τ ≃ 2r 0
v
1
T = 2r {︂
0 2
v exp √ (︂ π 2mE
ħ 2 r 1 − 2 √ )︂}︂
r 0 r 1
⎛
√ 2Ze 2
2m
= 2r {︃ (︃ )︃
0 π
v exp 1 √E −
ħ 4πɛ
⎜⎝ 4 √︂
√ 2Ze 2
2m r 0
⎞⎟
0 ħ 4πɛ ⎠ 0
⏟ ⏞ ⏟ ⏞
=k 1
=k 2
}︃
⇒
ln τ = ln
(︂ )︂ 2r0 1
+ k 1 √E − k 2
v
m = k 1 ; b = ln (︁ )︁
2r 0
v − k2
↓
= m 1 √
E
+ b. (3.4.16)
Dieses Ergebnis bestätigt (im Vergleich mit den Beobachtungen), dass die Lebensdauer
eines „α-Emitters“ in der Tat durch die Durchdringungswahrscheinlichkeit der „Coulomb“-Barriere
bestimmt ist, da die 1 √
E
-Abhängigkeit gemessen wird.
– 49 –