Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 4. Systeme von Quanten
aus |ψ 2 (r 1 ,r 2 ,t)| 2 d 3 r 1 d 3 r 2 nicht mehr erkennbar, welches Elektron am wahrscheinlichsten
in d 3 r 1 und welches in d 3 r 2 anzutreffen sein wird.
Bemerkung 4.1.1: Das ist völlig anders im klassischen Fall, wo infolge der Kenntnis
der Bahn beider Elektronen ihr jeweiliger Ort zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmt
werden kann. In der Quantenmechanik hingegen existiert der Begriff einer „Bahn“ nicht.
◭
Bemerkung 4.1.2: Die Tatsache, dass für N Teilchen die Wellenfunktion von den N
Ortsvektoren abhängt, ist ein weiteres Indiz dafür, dass dieselbe nicht als Materiefeld
interpretiert werden kann (wie Schrödinger anfänglich vermutete). Im letzteren Falle
würde man weiterhin ψ(r,t) erwarten.
◭
Aus der obigen „Unbestimmtheit“ (welches Elektron wo ist) folgt, dass für
ψ 1,2 ≔ ψ(r 1 ,r 2 ,t) und ψ 2,1 ≔ ψ(r 2 ,r 1 ,t) gefordert werden muss:
Also:
|ψ 2,1 | 2 d 3 r 1 d 3 r 2
!
= |ψ 1,2 | 2 d 3 r 1 d 3 r 2 ⇒ |ψ 1,2 | 2 = |ψ 2,1 | 2 . (4.1.3)
1-malige Vertauschung: ψ 2,1 = Cψ 1,2 mit |C| 2 = 1
2-malige Vertauschung: ψ 1,2 = Cψ 2,1 = C 2 ψ 1,2 ⇒ C 2 = 1 ⇒ C = ±1
Daraus ergeben sich zwei Möglichkeiten für die allgemeine Struktur der Wellenfunktion
zweier identischer Teilchen:
ψ S ∼ ψ 1,2 + ψ 2,1 ˆ= symmetrische Wellenfunktion
ψ A ∼ ψ 1,2 − ψ 2,1 ˆ= antisymmetrische Wellenfunktion
Wir haben in Abschnitt 3.5.3 den Spin (Eigendrehimpuls) s eines Teilchens kennengelernt.
Es gibt nun die
◮ Fermionen mit halbzahligem Spin sowie die
◮ Bosonen mit ganzzahligem Spin
und es gilt, dass das Verhalten von
◮ Fermionen durch antisymmetrische sowie
◮ Bosonen durch symmetrische
Wellenfunktionen ψ(r 1 ,r 2 ,s 1 ,s 2 ,t) beschrieben wird. Daraus folgt für ununterscheidbare
Fermionen (z. B. Elektronen) mit gleichem Spin (s 1 = s 2 ), dass wegen der Antisymmetrie
ψ ∼ ψ 1,2 − ψ 2,1 = 0 gilt, was nicht sein kann. Verallgemeinert gilt das 1 :
1 W. Pauli: Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur
der Spektren. In: Zeitschrift für Physik A 31 (1925), S. 765-783, DOI: 10.1007/BF02980631.
– 68 –