Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

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9.2. Phasenraumdichte und Dichtematrix
p
Phasenraumtrajektorie
p
Ensemble
→Mittelwertewerdenals
Zeitmittel berechnet
q
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→Mittelwertewerdenals
Ensemblemittel berechnet
q
Abbildung 9.2: Phasenraumtrajektorie und Ensemble
Um die Beschränkung auf Abschnitte einzelner Trajektorien aufzuheben, betrachtet man
den Grenzfall τ → ∞, der die mittlere Phasenraumdichte ¯ϱ(q,p) definiert
sodass gilt:
∫︁
1 τ
¯ϱ(q,p) := lim ¯ϱ τ = lim δ(q − q(t))δ(p − p(t)) dt, (9.2.4)
τ→∞ τ→∞ τ 0
¯x = lim
τ→∞
x(q,p) ¯ϱ(q,p) dq dp
ˆ= Mittelwert der Zustandsgröße x im betrachteten Phasenraumvolumen.
(9.2.5)
Dabei entspricht ¯ϱ dq dp der Wahrscheinlichkeit, dass x(q,p) in dq dp bei (q,p) enthalten ist
(⇒ ¯ϱ dq dp = 1).
Bemerkung 9.2.1: Da Letzteres für alle Zeiten gelten soll, definiert man die Phasenraumoder
Ensembledichte ϱ(q,p,t) mit
∫︁
∫︁
ϱ(q,p,t) dq dp = 1 ⇒ ¯x(t) =
x(q(t),p(t))ϱ(q,p,t) dq dp, (9.2.6)
wobei ϱ(q,p,t) dq dp die Wahrscheinlichkeit ist, einen beliebig gewählten Mikrozustand
zum Zeitpunkt t in dq dp bei (q,p) zu finden.
◭
Den Übergang von τ zu τ → ∞ kann man wie in Abbildung 9.2 veranschaulichen.
In den beiden alternativen Mittelwertberechnungen steckt also ein Grundpostulat der
Statistischen Physik: Das Ensemblemittel ist gleich dem Zeitmittel.
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