Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 2.
Wellenmechanik
Wir wissen nun, dass Materiewellen geeignet sind, quantentheoretische Aussagen (z. B.
die Bohr’sche Quantisierungsbedingung) plausibel zu machen und eine „Vorstellung“
der Quantenwelt (stehende Wellen im Atom, Teilcheninterferenz) zu formulieren. Wir
wissen auch, das diese Wellen durch die Frequenz ν = E h und die Wellenlänge λ = h p
charakterisiert sind, wobei E und p die Energie und der Impuls des jeweilig betrachteten
Materieteilchens sind, und dass allgemeiner p = ħk und |k| = k = 2π λ
gilt. Wie aber kann
nun:
(a) eine Funktion formuliert werden, die Materiewellen beschreibt?
(b) eine Differentialgleichung formuliert werden, deren Lösung die gesuchte Wellenfunktion
ist?
(c) eine solche Wellenfunktion sinnvoll interpretiert werden?
Wir beginnen mit der Betrachtung des Problems (a). . .
2.1. Die Wellenfunktion
Allgemein kann eine ebene, monochromatische Welle durch eine periodische Funktion
f (r,t) charakterisiert werden:
f (r,t) = exp {i (k · r − ωt)} . (2.1.1)
Gemäß der de Broglie-Hypothese (siehe Abschnitt 1.2.2) wird die Teilchenbewegung
durch ein System ebener Wellen beschrieben, d. h. durch die Überlagerung von ebenen,
monochromatischen Wellen, einem sogenannten „Wellenpaket“:
ψ(r,t) =
∫︁
1
(2π) 3/2
a(k) exp {i (k · r − ωt)} d 3 k. (2.1.2)
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