Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

7.3. Die (Informations)Entropie
Bemerkung 7.3.5: Die Gleichgewichtsverteilung des idealen Gases ist also die (zeitunabhängige)
Maxwellverteilung (die Maxwell auf direktem Wege herleitete). ◭
Wie ergibt sich nun die Entropie eines idealen Gases? Mit der Maxwell-Verteilung f M
erhält man für die Boltzmann’sche H-Funktion:
{︃ (︂ )︂ (︂ )︂ N m 3/2
}︃
H = ln + ln
− mv2 f M d 3 r d 3 v
V 2πk B T 2k B T
(︂ )︂ (︂ )︂ N m 3/2
= N ln + N ln
− U
{︃ (︂ )︂ (︂ )︂ N
V 2πk B T k B T = N m 3/2
ln + ln
− 3 }︃
. (7.3.15)
V 2πk B T 2
Daraus folgt für die Entropie
mit
(︃
∆µ
)︃
S = −k B H − k B N ln
N
⎧
⎪⎨⎪⎩ (︂ )︂ V
= Nk B ln + ln (︁ (︃ )︃ 3/2
T 3/2)︁ 2πkB
+ ln + 3 (︃ )︃ ⎫
∆µ
N m 2 − ln ⎪ ⎬⎪⎭
N
(︂ )︂ (︂ )︂ 1 V T 3/2
}︃
= Nk B
{︃ln + ln + s 0 (T 0 ,V 0 )
N V 0 T 0
vgl. Abschnitt 8.7.2
↓ (︂ )︂ T 5/2
(︃ )︃}︃
p0
= Nk B
{︃ln
+ Nk B s 0 (T 0 ,p 0 ) (7.3.16)
T 0 p
s 0 (T 0 ,V 0 ) = ln (︁ (︃ )︃
)︁ 3/2
T 3/2 2πkB
V
0 0 + ln + 3 (︃ )︃
∆µ
m 2 − ln . (7.3.17)
N
Beobachtung: Damit S ∼ N gilt, muss s 0 s 0 (N) erfüllt sein. Also ist eine Korrektur
notwendig.
Überlegung:
Die Vertauschung zweier Gasteilchen ist in der Informationsentropie mitgezählt,
liefert aber keinen neuen Mikrozustand ( ˆ= „Zeichenreihenfolge“
beliebig). Also
S ideal = −Nk B
∑︁
i
p i ln(p i ) −k B ln(N!)
⏟ ⏞
N! ≈ N N exp(−N)
Subtraktion der mehrfach
gezählten Mikrozustände
↓
≈ S − k B N(ln(N) − 1)
⎧
⎪⎨⎪⎩ (︂ )︂ V
= Nk B ln + ln (︁ (︃ )︃ 3/2
T 3/2)︁ 2πkB
+ ln + 5 N m 2 − ln (︁ )︁ ⎫ ⎪ ⎬⎪⎭
∆ µ
∆ µ = (︁ h
m
)︁ 3, siehe Exkurs Abs. 7.3.4
λ ≔
√ h ˆ= therm. de Broglie Wellenlänge
2πmkB T
⎧
↓ ⎛ ⎪⎨⎪⎩
= Nk B ln ⎜⎝ V [︃ ]︃ ⎫
3/2
2πmkB T
⎞⎟
N h 2 ⎠ + 5 ↓
⎪⎬
= Nk
2⎪⎭
B
{︂ln
(︂ )︂ V
Nλ 3 + 5 }︂
2
(7.3.18)
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