Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 9. Statistische Mechanik
Zur Formulierung der Nebenbedingungen benutzt man, dass für eine Zustandsgröße x
gilt:
⟨x⟩ ! = X
⇔
∑︁
p i x i = X
i
⇔
∑︁
p i x i − X = 0 (9.1.1)
i
Also insgesamt:
S = ! S max bei gegebenen Nebenbedingungen
⇒ 0 =
! ∂
[︃ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪⎨
∑︁ ⎪⎬ ⎪⎨⎪⎩ ∑︁
⎪⎬⎪⎭ ⎪⎨⎪⎩ ∑︁
]︃ ⎪⎬⎪⎭
S − k B ˜α p
∂p i
⎪⎩ K − 1 −k ⎪⎭ B β 1 p K x 1,K − X 1 −k B β 2 p K x 2,K − X 2 − . . .
K
K
K
⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞
∂S
∂p i
= −k B
(︀ ln(pi ) + 1 )︀ ; α ≔ ˜α − 1
↓
Normierung
⇒ 0 = ln(p i ) + α + β 1 x 1,i + β 2 x 2,i + . . .
⎧
⎪⎨
∑︁
⎫⎪ ⎬
⇒ p i = exp {−α} exp
⎪⎩ − β j x j,i
⎪ ⎭
j
1. Makro-NB
2. Makro-NB
⎧⎪
p i ≕ 1 ⎨
∑︁
⎫⎪ ⎬
Z exp − β
⎪ j x j,i (9.1.2)
⎩ ⎪ ⎭
j
mit der Zustandssumme
Z ≔ exp {α}
∑︀
i p i = 1
↓
=
⎧
∑︁
exp {︀ −β 1 x 1,i − β 2 x 2,i − . . . }︀ ∑︁ ∑︁ ⎪⎨
⎫⎪ ⎬
= exp
⎪⎩ − β j x j,i . (9.1.3)
⎪ ⎭
i
i
j
Bemerkung 9.1.1: Die Bezeichnung Zustandssumme reflektiert die Summation über
alle Mikrozustände.
◭
Bemerkung 9.1.2: Die durch Makro-Nebenbedingungen per Mittellung definierten extensiven
Zustandsgrößen sind in der Gleichgewichtsverteilung (maximale Entropie!)
durch voneinander unabhängige Exponentialverteilungen der Mikrozustände repräsentiert.
◭
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