Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 1. Warum Quantentheorie?
Aus dem Wien’schen Verschiebungsgesetz [Gleichung (1.1.3)] folgt somit
U =
c3 du
8πν 2 dν = ν (︂ )︂ T
8π g ν
⇒
(︃
T = ν · g −1 8π U )︃
ν
(1.1.11)
und demnach
dS
dU = 1 T = 1 1
ν g (︁ )︁ ≕ 1 (︃ )︃
U −1 8π U ν f . (1.1.12)
ν
ν
Damit folgt
S =
∫︁ U
0
x = U ν ⇒ dU = ν dx
∫︁ U
ν
1
⎛⎜
ν f U ′ ⎞ ↓
⎝ ν
⎟⎠ dU′ =
0
∫︁ U
1
ν f (x′ )ν dx ′ ν
=
0
(︃ )︃ (︃ )︃
U U
f (x ′ ) dx ′ = F = S . (1.1.13)
ν ν
Der Vergleich mit obiger Beziehung für die Entropie liefert:
(︃ )︃ (︃ )︃
U ! U
S = S
ɛ ν
⇒ ɛ = hν mit h = const. > 0. (1.1.14)
Daraus erhält man:
⇒
{︃(︃
S = k B 1 + U )︃ (︃
ln 1 + U )︃
− U (︃ )︃}︃
U
hν hν hν ln hν
dS
dU = k B
hν ln (︃
hν
U + 1 )︃
⇒ U =
!
= 1 T
hν
exp {︁ !
}︁ = c3 du
hν
k B T − 1 8πν 2 dν . (1.1.15)
Daraus folgt das
Planck’sche Strahlungsgesetz für einen schwarzen Körper
du = 8πhν3 1
c 3 exp {︁ }︁ dν
hν
k B T − 1
dE = 8πhc 1
λ 5 exp {︁ }︁ dλ.
hc
λk B T − 1
(1.1.16a)
(1.1.16b)
Dieses Strahlungsgesetz enthält als Grenzfälle das Wien’sche Gesetz (vgl. Gleichung (1.1.1)
mit a = 8πhc und b = hc
k B
)
ν ≫ k BT
h
⇒
du ≃ 8πhν3
c 4
exp
{︃
− hν
}︃
dν (1.1.17)
k B T
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