Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

7.3. Die (Informations)Entropie
7.3.3. Anwendung auf ein ideales Gas
Ideales Gas
Ein ideales Gas entspricht N wechselwirkungsfreien ( ˆ= unkorrelierten) Teilchen.
Sei f (r,v,t) wieder eine Verteilungsfunktion, die angibt, wie viele Teilchen dN sich zur Zeit
t bei r im Volumen d 3 r mit einer Geschwindigkeit im Intervall [v, v + dv] befinden, also
dN = f (r,v,t) d 3 r d 3 v, (7.3.4)
dann ist die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen in dessen (1-Teilchen) Phasenvolumen
(„µ-Raum“) zu finden
p i ≔ dN N = 1 N f (r,v,t) d3 r d 3 v (7.3.5)
und es gilt (p i für ein Teilchen!)
∑︁
S = −Nk B p i ln(p i ) S = −k B
i
f ln(p i ) d 3 r d 3 v. (7.3.6)
Problem: Wie ist ln(p i ) zu berechnen?
Ansatz: p i ≈ ∆ µ
N f (r,v,t) mit ∆ µ = d 3 r d 3 v ≈ const. ˆ= typ. Phasenraumzellgröße
Damit folgt
S = −k B
f ln
(︂ )︂
∆µ
f ln N d 3 r d 3 v = N ln
{︃
∆µ
N f }︃
d 3 r d 3 v
(︂ )︂
∆µ
N
↓
≕ −k B H − k B N ln
(︃
∆µ
N
)︃
(7.3.7)
mit der
Boltzmann’schen H-Funktion
H ≔
f ln( f ) d 3 r d 3 v. (7.3.8)
Bemerkung 7.3.3: Boltzmann verwendete ursprünglich (1872) den Buchstaben „E“,
und die Notation „H“ wurde erst in den 1890’ern eingeführt (H ˆ= gr. „eta“). ◭
Bemerkung 7.3.4: Die Boltzmann’sche H-Funktion (oder das Boltzmann’sche Funktional)
ist im Wesentlichen identisch mit der Entropie. Wegen des entgegengesetzten
Vorzeichens gilt, dass ein physikalisches System versucht, die H-Funktion zu minimieren
(und die Entropie damit zu maximieren).
◭
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