Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

9.3. (Ideale) Quantengase
Man kann formal schreiben:
⟨n ν ⟩ =
1
exp {︀ β 1
[︀ ɛ(ν) − µ
]︀}︀ − η
; η =
⎧
+1 ; BE
⎪⎨
0 ; MB
⎪⎩ −1 ; FD
(9.3.8)
Damit gilt stets (siehe Abbildung 9.3): ⟨n ν ⟩ FD ≤ ⟨n ν ⟩ MB ≤ ⟨n ν ⟩ BE .
〈n ν 〉
1,5
MB
BE
1,0
FD
0,5
β 1 [ǫ − µ]
Abbildung 9.3: Vergleich der mittleren Besetzungszahlen der Statistiken Maxwell-
Boltzmann, Bose-Einstein und Fermi-Dirac
9.3.3. Entropie der (idealen) Quantengase
Mit einigem Aufwand (siehe z. B. Schwabl, Kap. 4) kann man nun die Entropie der
Quantengase berechnen. Ausgehend von der klassischen Beziehung (vgl. Abschnitt 9.1.1)
∑︁
∑︁
⎧⎪ (︂ ⎨ 1
∑︁
⎫⎪ ⎬
S = k B ln Z + k B β j X j = −k B p i ln − β
⎪ j x j,i
j
i ⎩ Z)︂
⎪
j ⎭
⎡
∑︁
1
⎧⎪ ⎨
∑︁
⎫⎪ ⎬
∑︁
= −k B p i ln ⎢⎣ Z exp − β
⎪ j x j,i
⎩ ⎪
⎤⎥ = −k
⎭⎦ B p i ln ϱ = −k B ln ϱ (9.3.9)
i
liest man die (korrespondierende) quantenmechanische Beziehung ab:
j
i
S = −k B
⟨︀ ln ˆϱ
⟩︀ = −kB Sp( ˆϱ ln ˆϱ). (9.3.10)
Die Auswertung dieser Formel für den Fall niedriger Temperaturen ergibt:
Bosonen-Gas: S BE (T) ∼ T 3/2
Fermionen-Gas:
S FD (T) ∼ T
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