Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

8.7. Die thermodynamischen Potentiale
Das chemische Potential ist also der Beitrag eines einzelnen Teilchens zum Gibbs’schen 15
Potential.
Vergleicht man das totale Differential der Euler-Gleichung 16
dU = T dS − p dV +
k∑︁
µ i dN i + S dT − V dp +
i=1
k∑︁
N i dµ i (8.7.11)
i=1
mit dem 1. Hauptsatz, so folgt direkt
S dT − V dp +
k∑︁
N i dµ i = 0. (8.7.12)
i=1
Dies wird als (differentielle) Gibbs-Duhem -Relation 17 bezeichnet.
Beispiel 8.7.1 [Chemisches Potential eines (1-komp.) idealen Gases]:
Mit der (differentiellen) Gibbs-Duhem-Relation gilt für k = 1:
dµ = − S N dT + V N dp.
Man benötigt also zunächst die Entropie S eines idealen Gases, um das chemische Potential µ zu
bestimmen. Mit dem Ansatz ( dN = 0)
folgt
dS = dU
T
U=
2 3 Nk B T
pV=Nk B T
+ p ↓
T dV = 3 Nk B
2 T
dT + Nk B
V
dV
S(T,p) = Nk B ln
{︃ (︂ T
T 0
)︂ 3/2
V
V 0
}︃
+ S 0 (T 0 ,p 0 )
S ! =extensive ZG
⇒S∼N
⇒S 0 =Nk B s 0
↓
= Nk B
[︃ln
{︃ (︂ )︂ T 5/2
(︃ )︃}︃ ]︃
p0
+ s 0 (T 0 ,p 0 )
T 0 p
Mit pV = Nk B T folgt daraus
dµ = −
[︃
k B s 0 + k B ln
{︃ (︂ )︂ T 5/2
}︃]︃
p 0
dT + k BT
T 0 p p
dp.
p 0
p
Integration liefert:
T 0
T
15 Josiah Willard Gibbs, 1839-1903, amerik. Physiker
16 Leonhard Euler, 1707-1783, schweizer Mathematiker und Physiker
17 Pierre Maurice Marie Duhem, 1861-1916, franz. Physiker und Wissenschaftstheoretiker
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