Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 3. Lösung der Schrödinger-Gleichung für spezielle physikalische Systeme
(c) Potentiale mit zwei unendlich hohen Wänden:
V(x)
E
∫︁ a
0
p(x) dx = (n + 1) πħ (3.4.13)
jeweils mit n ∈ N 0 .
a
x
◭
Beispiel 3.4.1 [Energieniveaus des eindimensionalen harmonischen Oszillators]:
Man hat:
V
V HO (x) = 1 2 mω2 x 2
E x 1 , x 2 Lösungen von E − V(x) = 0, also:
√︁
2E
x 1,2 = ±
mω 2
⇒ p(x) = √︀ 2m(E − V(x)) =
√︁2m (︁ E − 1 2 mω2 x 2)︁
x
x 1 x 2
Gemäß WKB-Näherung gilt:
∫︁ x2
x 1
p(x) dx =
∫︁ x2
x 1
√︂
2m
(︂E − 1 )︂ ∫︁ x2
√︂
2E
2 mω2 x 2 dx = mω
x 1
mω − 2 x2 dx
z. B. Bronstein
↓
= 1 √︂ √︂
2E
⎡⎢
2 mω ⎣ x
mω − 2 x2 + 2E
⎛⎜
mω arcsin mω 2
x 2
2 ⎝
⎞⎟
2E x ⎠
⎤⎥ ⎦
x=x 1
⇒
= 1 [︂
2E π
mω
(︂−
2 mω 2 2 − π )︂]︂
= E 2 ω π
(︂
E n = ħω n + 1 )︂
2
Quantisierungsbedingung
↓
=
(︂
n + 1 2
)︂
πħ
Das heißt, in diesem Falle liefert die WKB-Methode sogar die exakten Energiewerte.
3.4.2. α-Zerfall als Beispiel für den Tunneleffekt
Der α-Zerfall bezeichnet die (spontane) Emission eines α-Teilchens ( ˆ= Heliumkern) aus
bestimmten radioaktiven Kernen. Gamow 9 (1928) entwickelte die folgende Vorstellung
zur Erklärung des experimentellen Befundes
ln (τ Kern ) = m
(︃
1√E
)︃
+ b (3.4.14)
9 George Anthony Gamow, 1904-1968, russisch-amerik. Physiker
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