Termofysiikan perusteet, Ismo Napari ja Hanna Vehkamäki, 2013.

6.9. PISARAN TARINA, OSA 3: TASAPAINOEHDOT JA MUODOSTUMISENVAPAA ENERGIA MITATTAVIEN SUUREIDEN AVULLA 113Tässä rajoitumme yksinkertaisuuden vuoksi yhden komponentin systeemiin.Gibbsin ja Duhemin yhtälön (4.39) mukaandµ = vdP− sdT,missä v = V/N ja s = S/N . Kirjoittamalla Gibbsin ja Duhemin yhtälö erikseenhöyrylle ja pisaralle ja ottamalla huomioon, että tasapainossa höyryn ja pisarankemialliset potentiaalit ovat samat eli dµ k = dµ n ja että dT = 0, saadaanjosta ratkaistaanv n dP n = v k dP k ,dP n = v kv ndP k . (6.36)Useamman komponentin tapauksessa käytetään Maxwellin yhtälöä (5.13), jostasaadaandµ i⏐ ⏐⏐⏐xi,T= v i dP,ja päästään samankaltaiseen tulokseen.Toisaalta Laplacen yhtälöstä (6.35) differentioimallaseuraa ( ) 2σdP n − dP k = d . (6.37)rYhtälöistä (6.36) ja (6.37) saadaan( ) (vk − v n2σdPv k = dn r). (6.38)Pintajännitys riippuu lämpötilasta. Guggenheim (1945) on esittänyt empiirisenkorrelaationσ(T) = σ 0 (1− T/T c ) n , (6.39)missä σ 0 ja n ovat sovitusparametreja ja T c on kriittinen lämpötila. Pisaran tapauksessapintajännitys riippuu myös pisaran säteestä, millä on merkitystäkun pisara on hyvin pieni. Tiedetään, että v n ≪ v k , joten v k − v n ≈ v k . Kunlisäksi oletetaan, että höyry on ideaalikaasua, on v k = k B T/P k , ja yhtälö (6.38)tulee muotoonk B Tv ndP kP k= d( 2σr). (6.40)Oletetaan nesteen molekyylitilavuus v n vakioksi paineenvaihteluiden suhteen.Näin voidaan tehdä, koska nesteet ovat yleensä lähes kokoonpuristumattomia.Kun vielä unohdetaan pintajännityksen kokoriippuvuus, voidaan yhtälö (6.40)integroida äärettömän pisaran rajalta (tasopinta) r-säteiseen pisaraan:k B Tv n∫ Pk,sat (r)P k,sat (∞)dP kP k∫ r( ) 1= 2σ d∞ r ′ ,