Termofysiikan perusteet, Ismo Napari ja Hanna Vehkamäki, 2013.

129eliValitaan ensin dx ̸= 0 ja dz = 0. Yhtälöstä (A.3) saadaan1−( ) ∂x∂yz( ) ∂x=∂yz( ) ∂y= 0∂x z1) . (A.4)( ∂y∂xValitaan sitten dx = 0 ja dz ̸= 0. Tästä seuraa, että( ) ∂x∂yz( ) ∂y+∂z xz( ) ∂x= 0.∂z yJakamalla(∂x/∂z) y :llä ja käyttämällä yhtälöä (A.4) saadaan( ) ∂x∂yz( ) ∂y∂z x( ) ∂z= −1. (A.5)∂x yTämä tulos tunnetaan myös Eulerin permutaationa.Olkoon nyt w mielivaltainen funktio ja x = (y, z). Jaetaan yhtälö (A.1) puolittaindw:llä: ( ) ( )dx ∂xdw = dy ∂x∂y dw + dz∂z dw .Jos oletetaan, että z on vakio eli dz = 0, saadaan( ) ( ) ( )∂x ∂x ∂y=∂w ∂y ∂welizz( ) ∂x=∂yzzyz( ) ∂w∂y( )z. (A.6)∂w∂xz